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Resolución de integrales/ x^2+4/ (2x^2+4x)*cos(pix/5)

Integral de (2x^2+4x)*cos(pix/5) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  5                          
  /                          
 |                           
 |  /   2      \    /pi*x\   
 |  \2*x  + 4*x/*cos|----| dx
 |                  \ 5  /   
 |                           
/                            
-5
∫−55(2x2+4x)cos⁡(πx5) dx\int\limits_{-5}^{5} \left(2 x^{2} + 4 x\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\, dx 
Integral((2*x^2 + 4*x)*cos((pi*x)/5), (x, -5, 5))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x2+4x)cos⁡(πx5)=2x2cos⁡(πx5)+4xcos⁡(πx5)\left(2 x^{2} + 4 x\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)} = 2 x^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)} + 4 x \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x2cos⁡(πx5) dx=2∫x2cos⁡(πx5) dx\int 2 x^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\, dx = 2 \int x^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=cos⁡(πx5)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=πx5u = \frac{\pi x}{5}.

            Luego que du=πdx5du = \frac{\pi dx}{5} y ponemos 5duπ\frac{5 du}{\pi}:

            ∫5cos⁡(u)π du\int \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=5∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(u)π\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            5sin⁡(πx5)π\frac{5 \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=10xπu{\left(x \right)} = \frac{10 x}{\pi} y que dv⁡(x)=sin⁡(πx5)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=10π\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{10}{\pi}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=πx5u = \frac{\pi x}{5}.

            Luego que du=πdx5du = \frac{\pi dx}{5} y ponemos 5duπ\frac{5 du}{\pi}:

            ∫5sin⁡(u)π du\int \frac{5 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=5∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(u)π- \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −5cos⁡(πx5)π- \frac{5 \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−50cos⁡(πx5)π2) dx=−50∫cos⁡(πx5) dxπ2\int \left(- \frac{50 \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{2}}\right)\, dx = - \frac{50 \int \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\, dx}{\pi^{2}}

          1. que u=πx5u = \frac{\pi x}{5}.

            Luego que du=πdx5du = \frac{\pi dx}{5} y ponemos 5duπ\frac{5 du}{\pi}:

            ∫5cos⁡(u)π du\int \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=5∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(u)π\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            5sin⁡(πx5)π\frac{5 \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi}

          Por lo tanto, el resultado es: −250sin⁡(πx5)π3- \frac{250 \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{3}}

        Por lo tanto, el resultado es: 10x2sin⁡(πx5)π+100xcos⁡(πx5)π2−500sin⁡(πx5)π3\frac{10 x^{2} \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi} + \frac{100 x \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{2}} - \frac{500 \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{3}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xcos⁡(πx5) dx=4∫xcos⁡(πx5) dx\int 4 x \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\, dx = 4 \int x \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(πx5)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=πx5u = \frac{\pi x}{5}.

            Luego que du=πdx5du = \frac{\pi dx}{5} y ponemos 5duπ\frac{5 du}{\pi}:

            ∫5cos⁡(u)π du\int \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=5∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(u)π\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            5sin⁡(πx5)π\frac{5 \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫5sin⁡(πx5)π dx=5∫sin⁡(πx5) dxπ\int \frac{5 \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi}\, dx = \frac{5 \int \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\, dx}{\pi}

          1. que u=πx5u = \frac{\pi x}{5}.

            Luego que du=πdx5du = \frac{\pi dx}{5} y ponemos 5duπ\frac{5 du}{\pi}:

            ∫5sin⁡(u)π du\int \frac{5 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=5∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(u)π- \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −5cos⁡(πx5)π- \frac{5 \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi}

          Por lo tanto, el resultado es: −25cos⁡(πx5)π2- \frac{25 \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: 20xsin⁡(πx5)π+100cos⁡(πx5)π2\frac{20 x \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi} + \frac{100 \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{2}}

      El resultado es: 10x2sin⁡(πx5)π+20xsin⁡(πx5)π+100xcos⁡(πx5)π2−500sin⁡(πx5)π3+100cos⁡(πx5)π2\frac{10 x^{2} \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi} + \frac{20 x \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi} + \frac{100 x \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{2}} - \frac{500 \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{3}} + \frac{100 \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{2}}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=2x(x+2)u{\left(x \right)} = 2 x \left(x + 2\right) y que dv⁡(x)=cos⁡(πx5)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=4x+4\operatorname{du}{\left(x \right)} = 4 x + 4.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=πx5u = \frac{\pi x}{5}.

        Luego que du=πdx5du = \frac{\pi dx}{5} y ponemos 5duπ\frac{5 du}{\pi}:

        ∫5cos⁡(u)π du\int \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=5∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(u)π\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        5sin⁡(πx5)π\frac{5 \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=20(x+1)πu{\left(x \right)} = \frac{20 \left(x + 1\right)}{\pi} y que dv⁡(x)=sin⁡(πx5)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=20π\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{20}{\pi}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=πx5u = \frac{\pi x}{5}.

        Luego que du=πdx5du = \frac{\pi dx}{5} y ponemos 5duπ\frac{5 du}{\pi}:

        ∫5sin⁡(u)π du\int \frac{5 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=5∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(u)π- \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −5cos⁡(πx5)π- \frac{5 \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−100cos⁡(πx5)π2) dx=−100∫cos⁡(πx5) dxπ2\int \left(- \frac{100 \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{2}}\right)\, dx = - \frac{100 \int \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\, dx}{\pi^{2}}

      1. que u=πx5u = \frac{\pi x}{5}.

        Luego que du=πdx5du = \frac{\pi dx}{5} y ponemos 5duπ\frac{5 du}{\pi}:

        ∫5cos⁡(u)π du\int \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=5∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(u)π\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{\pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        5sin⁡(πx5)π\frac{5 \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi}

      Por lo tanto, el resultado es: −500sin⁡(πx5)π3- \frac{500 \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{3}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x2+4x)cos⁡(πx5)=2x2cos⁡(πx5)+4xcos⁡(πx5)\left(2 x^{2} + 4 x\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)} = 2 x^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)} + 4 x \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x2cos⁡(πx5) dx=2∫x2cos⁡(πx5) dx\int 2 x^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\, dx = 2 \int x^{2} \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=cos⁡(πx5)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=πx5u = \frac{\pi x}{5}.

            Luego que du=πdx5du = \frac{\pi dx}{5} y ponemos 5duπ\frac{5 du}{\pi}:

            ∫5cos⁡(u)π du\int \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=5∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(u)π\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            5sin⁡(πx5)π\frac{5 \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=10xπu{\left(x \right)} = \frac{10 x}{\pi} y que dv⁡(x)=sin⁡(πx5)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=10π\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{10}{\pi}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=πx5u = \frac{\pi x}{5}.

            Luego que du=πdx5du = \frac{\pi dx}{5} y ponemos 5duπ\frac{5 du}{\pi}:

            ∫5sin⁡(u)π du\int \frac{5 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=5∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(u)π- \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −5cos⁡(πx5)π- \frac{5 \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−50cos⁡(πx5)π2) dx=−50∫cos⁡(πx5) dxπ2\int \left(- \frac{50 \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{2}}\right)\, dx = - \frac{50 \int \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\, dx}{\pi^{2}}

          1. que u=πx5u = \frac{\pi x}{5}.

            Luego que du=πdx5du = \frac{\pi dx}{5} y ponemos 5duπ\frac{5 du}{\pi}:

            ∫5cos⁡(u)π du\int \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=5∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(u)π\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            5sin⁡(πx5)π\frac{5 \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi}

          Por lo tanto, el resultado es: −250sin⁡(πx5)π3- \frac{250 \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{3}}

        Por lo tanto, el resultado es: 10x2sin⁡(πx5)π+100xcos⁡(πx5)π2−500sin⁡(πx5)π3\frac{10 x^{2} \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi} + \frac{100 x \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{2}} - \frac{500 \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{3}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xcos⁡(πx5) dx=4∫xcos⁡(πx5) dx\int 4 x \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\, dx = 4 \int x \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(πx5)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=πx5u = \frac{\pi x}{5}.

            Luego que du=πdx5du = \frac{\pi dx}{5} y ponemos 5duπ\frac{5 du}{\pi}:

            ∫5cos⁡(u)π du\int \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=5∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(u)π\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            5sin⁡(πx5)π\frac{5 \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫5sin⁡(πx5)π dx=5∫sin⁡(πx5) dxπ\int \frac{5 \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi}\, dx = \frac{5 \int \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\, dx}{\pi}

          1. que u=πx5u = \frac{\pi x}{5}.

            Luego que du=πdx5du = \frac{\pi dx}{5} y ponemos 5duπ\frac{5 du}{\pi}:

            ∫5sin⁡(u)π du\int \frac{5 \sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=5∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{5 \int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −5cos⁡(u)π- \frac{5 \cos{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −5cos⁡(πx5)π- \frac{5 \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi}

          Por lo tanto, el resultado es: −25cos⁡(πx5)π2- \frac{25 \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: 20xsin⁡(πx5)π+100cos⁡(πx5)π2\frac{20 x \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi} + \frac{100 \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{2}}

      El resultado es: 10x2sin⁡(πx5)π+20xsin⁡(πx5)π+100xcos⁡(πx5)π2−500sin⁡(πx5)π3+100cos⁡(πx5)π2\frac{10 x^{2} \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi} + \frac{20 x \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi} + \frac{100 x \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{2}} - \frac{500 \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{3}} + \frac{100 \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{2}}

  2. Ahora simplificar:

    10(π2x(x+2)sin⁡(πx5)+10π(x+1)cos⁡(πx5)−50sin⁡(πx5))π3\frac{10 \left(\pi^{2} x \left(x + 2\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)} + 10 \pi \left(x + 1\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)} - 50 \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\right)}{\pi^{3}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    10(π2x(x+2)sin⁡(πx5)+10π(x+1)cos⁡(πx5)−50sin⁡(πx5))π3+constant\frac{10 \left(\pi^{2} x \left(x + 2\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)} + 10 \pi \left(x + 1\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)} - 50 \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\right)}{\pi^{3}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

10(π2x(x+2)sin⁡(πx5)+10π(x+1)cos⁡(πx5)−50sin⁡(πx5))π3+constant\frac{10 \left(\pi^{2} x \left(x + 2\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)} + 10 \pi \left(x + 1\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)} - 50 \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\right)}{\pi^{3}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                       /pi*x\          /pi*x\       2    /pi*x\           /pi*x\            /pi*x\
 |                                 500*sin|----|   100*cos|----|   10*x *sin|----|   20*x*sin|----|   100*x*cos|----|
 | /   2      \    /pi*x\                 \ 5  /          \ 5  /            \ 5  /           \ 5  /            \ 5  /
 | \2*x  + 4*x/*cos|----| dx = C - ------------- + ------------- + --------------- + -------------- + ---------------
 |                 \ 5  /                 3               2               pi               pi                 2      
 |                                      pi              pi                                                  pi       
/
∫(2x2+4x)cos⁡(πx5) dx=C+10x2sin⁡(πx5)π+20xsin⁡(πx5)π+100xcos⁡(πx5)π2−500sin⁡(πx5)π3+100cos⁡(πx5)π2\int \left(2 x^{2} + 4 x\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}\, dx = C + \frac{10 x^{2} \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi} + \frac{20 x \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi} + \frac{100 x \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{2}} - \frac{500 \sin{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{3}} + \frac{100 \cos{\left(\frac{\pi x}{5} \right)}}{\pi^{2}}
Simplificar
Gráfica
-5.0-4.0-3.0-2.0-1.05.00.01.02.03.04.0-100100
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-1000 
------
   2  
 pi
−1000π2- \frac{1000}{\pi^{2}} 
=
= 
-1000 
------
   2  
 pi
−1000π2- \frac{1000}{\pi^{2}} 
-1000/pi^2
Respuesta numérica [src] 
-101.321183642338
-101.321183642338

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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