Sr Examen

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Integral de dx/(1+3*x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1            
  /            
 |             
 |     1       
 |  -------- dx
 |         2   
 |  1 + 3*x    
 |             
/              
0              
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{3 x^{2} + 1}\, dx$$
Integral(1/(1 + 3*x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /           
 |            
 |    1       
 | -------- dx
 |        2   
 | 1 + 3*x    
 |            
/             
Reescribimos la función subintegral
   1                1         
-------- = -------------------
       2     /          2    \
1 + 3*x      |/   ___  \     |
           1*\\-\/ 3 *x/  + 1/
o
  /             
 |              
 |    1         
 | -------- dx  
 |        2    =
 | 1 + 3*x      
 |              
/               
  
  /                  
 |                   
 |        1          
 | --------------- dx
 |           2       
 | /   ___  \        
 | \-\/ 3 *x/  + 1   
 |                   
/                    
En integral
  /                  
 |                   
 |        1          
 | --------------- dx
 |           2       
 | /   ___  \        
 | \-\/ 3 *x/  + 1   
 |                   
/                    
hacemos el cambio
         ___
v = -x*\/ 3 
entonces
integral =
  /                   
 |                    
 |   1                
 | ------ dv = atan(v)
 |      2             
 | 1 + v              
 |                    
/                     
hacemos cambio inverso
  /                                        
 |                        ___     /    ___\
 |        1             \/ 3 *atan\x*\/ 3 /
 | --------------- dx = -------------------
 |           2                   3         
 | /   ___  \                              
 | \-\/ 3 *x/  + 1                         
 |                                         
/                                          
La solución:
      ___     /    ___\
    \/ 3 *atan\x*\/ 3 /
C + -------------------
             3         
Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                     
 |                     ___     /    ___\
 |    1              \/ 3 *atan\x*\/ 3 /
 | -------- dx = C + -------------------
 |        2                   3         
 | 1 + 3*x                              
 |                                      
/                                       
$$\int \frac{1}{3 x^{2} + 1}\, dx = C + \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{3}$$
Gráfica
Respuesta [src]
     ___
pi*\/ 3 
--------
   9    
$$\frac{\sqrt{3} \pi}{9}$$
=
=
     ___
pi*\/ 3 
--------
   9    
$$\frac{\sqrt{3} \pi}{9}$$
pi*sqrt(3)/9
Respuesta numérica [src]
0.604599788078073
0.604599788078073

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.