Integral de Xdx/(2x^2+4)^4 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(2 x^{2} + 4\right)^{4}} = \frac{x}{16 \left(x^{2} + 2\right)^{4}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x}{16 \left(x^{2} + 2\right)^{4}}\, dx = \frac{\int \frac{x}{\left(x^{2} + 2\right)^{4}}\, dx}{16}$

      1. que $u = x^{2} + 2$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u^{4}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{6 u^{3}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{6 \left(x^{2} + 2\right)^{3}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{96 \left(x^{2} + 2\right)^{3}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(2 x^{2} + 4\right)^{4}} = \frac{x}{16 x^{8} + 128 x^{6} + 384 x^{4} + 512 x^{2} + 256}$

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{32 u^{4} + 256 u^{3} + 768 u^{2} + 1024 u + 512}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{32 u^{4} + 256 u^{3} + 768 u^{2} + 1024 u + 512} = \frac{1}{32 \left(u + 2\right)^{4}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{32 \left(u + 2\right)^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(u + 2\right)^{4}}\, du}{32}$

         1. que $u = u + 2$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{4}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{3 \left(u + 2\right)^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{96 \left(u + 2\right)^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{96 \left(x^{2} + 2\right)^{3}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(2 x^{2} + 4\right)^{4}} = \frac{x}{16 x^{8} + 128 x^{6} + 384 x^{4} + 512 x^{2} + 256}$

   2. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{32 u^{4} + 256 u^{3} + 768 u^{2} + 1024 u + 512}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{32 u^{4} + 256 u^{3} + 768 u^{2} + 1024 u + 512} = \frac{1}{32 \left(u + 2\right)^{4}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{32 \left(u + 2\right)^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(u + 2\right)^{4}}\, du}{32}$

         1. que $u = u + 2$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{4}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{3 \left(u + 2\right)^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{96 \left(u + 2\right)^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{96 \left(x^{2} + 2\right)^{3}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{1}{96 \left(x^{2} + 2\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{1}{96 \left(x^{2} + 2\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$