Integral de x^11/(x^8+3*x^4+2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u^{5}}{2 u^{4} + 6 u^{2} + 4}\, du$

      1. que $u = u^{2}$.

         Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u^{2}}{4 u^{2} + 12 u + 8}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{2}}{4 u^{2} + 12 u + 8} = \frac{1}{4} - \frac{1}{u + 2} + \frac{1}{4 \left(u + 1\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u + 2}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 2}\, du$

               1. que $u = u + 2$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u + 2 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u + 2 \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{4 \left(u + 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{4}$

               1. que $u = u + 1$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{4}$

            El resultado es: $\frac{u}{4} + \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{4} - \log{\left(u + 2 \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{u^{2}}{4} + \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{4} - \log{\left(u^{2} + 2 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{4}}{4} + \frac{\log{\left(x^{4} + 1 \right)}}{4} - \log{\left(x^{4} + 2 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{11}}{\left(x^{8} + 3 x^{4}\right) + 2} = x^{3} - \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 2} + \frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 2}\right)\, dx = - 4 \int \frac{x^{3}}{x^{4} + 2}\, dx$

         1. que $u = x^{4} + 2$.

            Luego que $du = 4 x^{3} dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{1}{4 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x^{4} + 2 \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x^{4} + 2 \right)}$

      1. que $u = x^{4} + 1$.

         Luego que $du = 4 x^{3} dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{1}{4 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(x^{4} + 1 \right)}}{4}$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} + \frac{\log{\left(x^{4} + 1 \right)}}{4} - \log{\left(x^{4} + 2 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4}}{4} + \frac{\log{\left(x^{4} + 1 \right)}}{4} - \log{\left(x^{4} + 2 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{\log{\left(x^{4} + 1 \right)}}{4} - \log{\left(x^{4} + 2 \right)}+ \mathrm{constant}$