Integral de (-x^2)/(x^3+5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{3} + 5$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{1}{3 u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(x^{3} + 5 \right)}}{3}$

   Método #2

   1. que $u = x^{3}$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{1}{3 u + 15}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{3 u + 15}\, du = - \int \frac{1}{3 u + 15}\, du$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = 3 u + 15$.

               Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{1}{3 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(3 u + 15 \right)}}{3}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{1}{3 u + 15} = \frac{1}{3 \left(u + 5\right)}$

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{3 \left(u + 5\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u + 5}\, du}{3}$

               1. que $u = u + 5$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u + 5 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u + 5 \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(3 u + 15 \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(3 x^{3} + 15 \right)}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\log{\left(x^{3} + 5 \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(x^{3} + 5 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(x^{3} + 5 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$