Integral de ∫(2x+6)^5 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x + 6$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{5}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{5}\, du = \frac{\int u^{5}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{6}}{12}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(2 x + 6\right)^{6}}{12}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x + 6\right)^{5} = 32 x^{5} + 480 x^{4} + 2880 x^{3} + 8640 x^{2} + 12960 x + 7776$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 32 x^{5}\, dx = 32 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 x^{6}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 480 x^{4}\, dx = 480 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $96 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2880 x^{3}\, dx = 2880 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $720 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8640 x^{2}\, dx = 8640 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2880 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 12960 x\, dx = 12960 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6480 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 7776\, dx = 7776 x$

      El resultado es: $\frac{16 x^{6}}{3} + 96 x^{5} + 720 x^{4} + 2880 x^{3} + 6480 x^{2} + 7776 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{16 \left(x + 3\right)^{6}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{16 \left(x + 3\right)^{6}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{16 \left(x + 3\right)^{6}}{3}+ \mathrm{constant}$