Integral de (x+1)/(3x+1)^(1/3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{3 x + 1}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{\left(3 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(u \left(\frac{u^{3}}{3} - \frac{1}{3}\right) + u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $u \left(\frac{u^{3}}{3} - \frac{1}{3}\right) = \frac{u^{4}}{3} - \frac{u}{3}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u^{4}}{3}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{15}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{u}{3}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{6}$

            El resultado es: $\frac{u^{5}}{15} - \frac{u^{2}}{6}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{5}}{15} + \frac{u^{2}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(3 x + 1\right)^{\frac{5}{3}}}{15} + \frac{\left(3 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x + 1}{\sqrt[3]{3 x + 1}} = \frac{x}{\sqrt[3]{3 x + 1}} + \frac{1}{\sqrt[3]{3 x + 1}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt[3]{3 x + 1}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{\left(3 x + 1\right)^{\frac{4}{3}}}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(- 3 \left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 u^{3}}\right)^{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 u^{3}}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 3 \left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 u^{3}}\right)^{2}\right)\, du = - 3 \int \left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 u^{3}}\right)^{2}\, du$

               1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                  Método #1

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 u^{3}}\right)^{2} = \frac{1}{9} - \frac{2}{9 u^{3}} + \frac{1}{9 u^{6}}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{1}{9}\, du = \frac{u}{9}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{2}{9 u^{3}}\right)\, du = - \frac{2 \int \frac{1}{u^{3}}\, du}{9}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{9 u^{2}}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{1}{9 u^{6}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{6}}\, du}{9}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{45 u^{5}}$

                     El resultado es: $\frac{u}{9} + \frac{1}{9 u^{2}} - \frac{1}{45 u^{5}}$

                  Método #2

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 u^{3}}\right)^{2} = \frac{u^{6} - 2 u^{3} + 1}{9 u^{6}}$

                  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{u^{6} - 2 u^{3} + 1}{9 u^{6}}\, du = \frac{\int \frac{u^{6} - 2 u^{3} + 1}{u^{6}}\, du}{9}$

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\frac{u^{6} - 2 u^{3} + 1}{u^{6}} = 1 - \frac{2}{u^{3}} + \frac{1}{u^{6}}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int 1\, du = u$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \frac{2}{u^{3}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u^{2}}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

                        El resultado es: $u + \frac{1}{u^{2}} - \frac{1}{5 u^{5}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{9} + \frac{1}{9 u^{2}} - \frac{1}{45 u^{5}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{3} - \frac{1}{3 u^{2}} + \frac{1}{15 u^{5}}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{3 u^{3}}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u^{3}}\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{6 u^{2}}$

            El resultado es: $- \frac{1}{6 u^{2}} + \frac{1}{15 u^{5}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(3 x + 1\right)^{\frac{5}{3}}}{15} - \frac{\left(3 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{6}$

      1. que $u = 3 x + 1$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = \frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{2}{3}}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(3 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{2}$

      El resultado es: $\frac{\left(3 x + 1\right)^{\frac{5}{3}}}{15} + \frac{\left(3 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x + 2\right) \left(3 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x + 2\right) \left(3 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + 2\right) \left(3 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{5}+ \mathrm{constant}$