Integral de 1/(2y+6)^3 dy

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(2 y + 6\right)^{3}} = \frac{1}{8 \left(y + 3\right)^{3}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{1}{8 \left(y + 3\right)^{3}}\, dy = \frac{\int \frac{1}{\left(y + 3\right)^{3}}\, dy}{8}$

      1. que $u = y + 3$.

         Luego que $du = dy$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{2 \left(y + 3\right)^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{16 \left(y + 3\right)^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(2 y + 6\right)^{3}} = \frac{1}{8 y^{3} + 72 y^{2} + 216 y + 216}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{8 y^{3} + 72 y^{2} + 216 y + 216} = \frac{1}{8 \left(y + 3\right)^{3}}$

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{1}{8 \left(y + 3\right)^{3}}\, dy = \frac{\int \frac{1}{\left(y + 3\right)^{3}}\, dy}{8}$

      1. que $u = y + 3$.

         Luego que $du = dy$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{2 \left(y + 3\right)^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{16 \left(y + 3\right)^{2}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(2 y + 6\right)^{3}} = \frac{1}{8 y^{3} + 72 y^{2} + 216 y + 216}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{8 y^{3} + 72 y^{2} + 216 y + 216} = \frac{1}{8 \left(y + 3\right)^{3}}$

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{1}{8 \left(y + 3\right)^{3}}\, dy = \frac{\int \frac{1}{\left(y + 3\right)^{3}}\, dy}{8}$

      1. que $u = y + 3$.

         Luego que $du = dy$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{2 \left(y + 3\right)^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{16 \left(y + 3\right)^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{1}{16 \left(y + 3\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{1}{16 \left(y + 3\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$