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Resolución de integrales/ 2-x^2/ e^(-x/2)/ (2-x^2)*e^(-x/2)

Integral de (2-x^2)*e^(-x/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                 
  /                 
 |                  
 |            -x    
 |            ---   
 |  /     2\   2    
 |  \2 - x /*E    dx
 |                  
/                   
0
∫01e(−1)x2(2−x2) dx\int\limits_{0}^{1} e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} \left(2 - x^{2}\right)\, dx 
Integral((2 - x^2)*E^((-x)/2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e(−1)x2(2−x2)=−(x2−2)e−x2e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} \left(2 - x^{2}\right) = - \left(x^{2} - 2\right) e^{- \frac{x}{2}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−(x2−2)e−x2) dx=−∫(x2−2)e−x2 dx\int \left(- \left(x^{2} - 2\right) e^{- \frac{x}{2}}\right)\, dx = - \int \left(x^{2} - 2\right) e^{- \frac{x}{2}}\, dx

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x2−2u{\left(x \right)} = x^{2} - 2 y que dv⁡(x)=e−x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}}.

        Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=−x2u = - \frac{x}{2}.

          Luego que du=−dx2du = - \frac{dx}{2} y ponemos −2du- 2 du:

          ∫(−2eu) du\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −2eu- 2 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −2e−x2- 2 e^{- \frac{x}{2}}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=−4xu{\left(x \right)} = - 4 x y que dv⁡(x)=e−x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}}.

        Entonces du⁡(x)=−4\operatorname{du}{\left(x \right)} = -4.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=−x2u = - \frac{x}{2}.

          Luego que du=−dx2du = - \frac{dx}{2} y ponemos −2du- 2 du:

          ∫(−2eu) du\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −2eu- 2 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −2e−x2- 2 e^{- \frac{x}{2}}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8e−x2 dx=8∫e−x2 dx\int 8 e^{- \frac{x}{2}}\, dx = 8 \int e^{- \frac{x}{2}}\, dx

        1. que u=−x2u = - \frac{x}{2}.

          Luego que du=−dx2du = - \frac{dx}{2} y ponemos −2du- 2 du:

          ∫(−2eu) du\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −2eu- 2 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −2e−x2- 2 e^{- \frac{x}{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: −16e−x2- 16 e^{- \frac{x}{2}}

      Por lo tanto, el resultado es: 8xe−x2+2(x2−2)e−x2+16e−x28 x e^{- \frac{x}{2}} + 2 \left(x^{2} - 2\right) e^{- \frac{x}{2}} + 16 e^{- \frac{x}{2}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e(−1)x2(2−x2)=−x2e−x2+2e−x2e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} \left(2 - x^{2}\right) = - x^{2} e^{- \frac{x}{2}} + 2 e^{- \frac{x}{2}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x2e−x2) dx=−∫x2e−x2 dx\int \left(- x^{2} e^{- \frac{x}{2}}\right)\, dx = - \int x^{2} e^{- \frac{x}{2}}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=e−x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=−x2u = - \frac{x}{2}.

            Luego que du=−dx2du = - \frac{dx}{2} y ponemos −2du- 2 du:

            ∫(−2eu) du\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −2eu- 2 e^{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2e−x2- 2 e^{- \frac{x}{2}}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=−4xu{\left(x \right)} = - 4 x y que dv⁡(x)=e−x2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}}.

          Entonces du⁡(x)=−4\operatorname{du}{\left(x \right)} = -4.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=−x2u = - \frac{x}{2}.

            Luego que du=−dx2du = - \frac{dx}{2} y ponemos −2du- 2 du:

            ∫(−2eu) du\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −2eu- 2 e^{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2e−x2- 2 e^{- \frac{x}{2}}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫8e−x2 dx=8∫e−x2 dx\int 8 e^{- \frac{x}{2}}\, dx = 8 \int e^{- \frac{x}{2}}\, dx

          1. que u=−x2u = - \frac{x}{2}.

            Luego que du=−dx2du = - \frac{dx}{2} y ponemos −2du- 2 du:

            ∫(−2eu) du\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −2eu- 2 e^{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2e−x2- 2 e^{- \frac{x}{2}}

          Por lo tanto, el resultado es: −16e−x2- 16 e^{- \frac{x}{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: 2x2e−x2+8xe−x2+16e−x22 x^{2} e^{- \frac{x}{2}} + 8 x e^{- \frac{x}{2}} + 16 e^{- \frac{x}{2}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2e−x2 dx=2∫e−x2 dx\int 2 e^{- \frac{x}{2}}\, dx = 2 \int e^{- \frac{x}{2}}\, dx

        1. que u=−x2u = - \frac{x}{2}.

          Luego que du=−dx2du = - \frac{dx}{2} y ponemos −2du- 2 du:

          ∫(−2eu) du\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −2eu- 2 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −2e−x2- 2 e^{- \frac{x}{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: −4e−x2- 4 e^{- \frac{x}{2}}

      El resultado es: 2x2e−x2+8xe−x2+12e−x22 x^{2} e^{- \frac{x}{2}} + 8 x e^{- \frac{x}{2}} + 12 e^{- \frac{x}{2}}

  2. Ahora simplificar:

    2(x2+4x+6)e−x22 \left(x^{2} + 4 x + 6\right) e^{- \frac{x}{2}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2(x2+4x+6)e−x2+constant2 \left(x^{2} + 4 x + 6\right) e^{- \frac{x}{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2(x2+4x+6)e−x2+constant2 \left(x^{2} + 4 x + 6\right) e^{- \frac{x}{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
 |                                                             
 |           -x               -x                 -x         -x 
 |           ---              ---                ---        ---
 | /     2\   2                2      /      2\   2          2 
 | \2 - x /*E    dx = C + 16*e    + 2*\-2 + x /*e    + 8*x*e   
 |                                                             
/
∫e(−1)x2(2−x2) dx=C+8xe−x2+2(x2−2)e−x2+16e−x2\int e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} \left(2 - x^{2}\right)\, dx = C + 8 x e^{- \frac{x}{2}} + 2 \left(x^{2} - 2\right) e^{- \frac{x}{2}} + 16 e^{- \frac{x}{2}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
          -1/2
-12 + 22*e
−12+22e12-12 + \frac{22}{e^{\frac{1}{2}}} 
=
= 
          -1/2
-12 + 22*e
−12+22e12-12 + \frac{22}{e^{\frac{1}{2}}} 
-12 + 22*exp(-1/2)
Respuesta numérica [src] 
1.34367451367794
1.34367451367794

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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