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Resolución de integrales/ x^2-3/ x^4/(x^2-3)

Integral de x^4/(x^2-3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1          
  /          
 |           
 |     4     
 |    x      
 |  ------ dx
 |   2       
 |  x  - 3   
 |           
/            
0
∫01x4x2−3 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{4}}{x^{2} - 3}\, dx 
Integral(x^4/(x^2 - 3), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    x4x2−3=x2+3+9x2−3\frac{x^{4}}{x^{2} - 3} = x^{2} + 3 + \frac{9}{x^{2} - 3}

  2. Integramos término a término:

    1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

      ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫3 dx=3x\int 3\, dx = 3 x

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫9x2−3 dx=9∫1x2−3 dx\int \frac{9}{x^{2} - 3}\, dx = 9 \int \frac{1}{x^{2} - 3}\, dx

        PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=-3, context=1/(x**2 - 3), symbol=x), False), (ArccothRule(a=1, b=1, c=-3, context=1/(x**2 - 3), symbol=x), x**2 > 3), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=-3, context=1/(x**2 - 3), symbol=x), x**2 < 3)], context=1/(x**2 - 3), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: 9({−3acoth⁡(3x3)3for x2>3−3atanh⁡(3x3)3for x2<3)9 \left(\begin{cases} - \frac{\sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} > 3 \\- \frac{\sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} < 3 \end{cases}\right)

    El resultado es: x33+3x+9({−3acoth⁡(3x3)3for x2>3−3atanh⁡(3x3)3for x2<3)\frac{x^{3}}{3} + 3 x + 9 \left(\begin{cases} - \frac{\sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} > 3 \\- \frac{\sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} < 3 \end{cases}\right)

  3. Ahora simplificar:

    {x33+3x−33acoth⁡(3x3)for x2>3x33+3x−33atanh⁡(3x3)for x2<3\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} + 3 x - 3 \sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} & \text{for}\: x^{2} > 3 \\\frac{x^{3}}{3} + 3 x - 3 \sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} & \text{for}\: x^{2} < 3 \end{cases}

  4. Añadimos la constante de integración:

    {x33+3x−33acoth⁡(3x3)for x2>3x33+3x−33atanh⁡(3x3)for x2<3+constant\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} + 3 x - 3 \sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} & \text{for}\: x^{2} > 3 \\\frac{x^{3}}{3} + 3 x - 3 \sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} & \text{for}\: x^{2} < 3 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{x33+3x−33acoth⁡(3x3)for x2>3x33+3x−33atanh⁡(3x3)for x2<3+constant\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} + 3 x - 3 \sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} & \text{for}\: x^{2} > 3 \\\frac{x^{3}}{3} + 3 x - 3 \sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} & \text{for}\: x^{2} < 3 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                           //            /    ___\             \     
                           ||   ___      |x*\/ 3 |             |     
  /                        ||-\/ 3 *acoth|-------|             |     
 |                         ||            \   3   /        2    |     
 |    4                    ||----------------------  for x  > 3|    3
 |   x                     ||          3                       |   x 
 | ------ dx = C + 3*x + 9*|<                                  | + --
 |  2                      ||            /    ___\             |   3 
 | x  - 3                  ||   ___      |x*\/ 3 |             |     
 |                         ||-\/ 3 *atanh|-------|             |     
/                          ||            \   3   /        2    |     
                           ||----------------------  for x  < 3|     
                           \\          3                       /
∫x4x2−3 dx=C+x33+3x+9({−3acoth⁡(3x3)3for x2>3−3atanh⁡(3x3)3for x2<3)\int \frac{x^{4}}{x^{2} - 3}\, dx = C + \frac{x^{3}}{3} + 3 x + 9 \left(\begin{cases} - \frac{\sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} > 3 \\- \frac{\sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} < 3 \end{cases}\right)
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1.00.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
         ___ /          /  ___\\       ___    /      ___\       ___ /          /       ___\\       ___    /  ___\
10   3*\/ 3 *\pi*I + log\\/ 3 //   3*\/ 3 *log\1 + \/ 3 /   3*\/ 3 *\pi*I + log\-1 + \/ 3 //   3*\/ 3 *log\\/ 3 /
-- - --------------------------- - ---------------------- + -------------------------------- + ------------------
3                 2                          2                             2                           2
−33log⁡(1+3)2+33log⁡(3)2+103−33(log⁡(3)+iπ)2+33(log⁡(−1+3)+iπ)2- \frac{3 \sqrt{3} \log{\left(1 + \sqrt{3} \right)}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} \log{\left(\sqrt{3} \right)}}{2} + \frac{10}{3} - \frac{3 \sqrt{3} \left(\log{\left(\sqrt{3} \right)} + i \pi\right)}{2} + \frac{3 \sqrt{3} \left(\log{\left(-1 + \sqrt{3} \right)} + i \pi\right)}{2} 
=
= 
         ___ /          /  ___\\       ___    /      ___\       ___ /          /       ___\\       ___    /  ___\
10   3*\/ 3 *\pi*I + log\\/ 3 //   3*\/ 3 *log\1 + \/ 3 /   3*\/ 3 *\pi*I + log\-1 + \/ 3 //   3*\/ 3 *log\\/ 3 /
-- - --------------------------- - ---------------------- + -------------------------------- + ------------------
3                 2                          2                             2                           2
−33log⁡(1+3)2+33log⁡(3)2+103−33(log⁡(3)+iπ)2+33(log⁡(−1+3)+iπ)2- \frac{3 \sqrt{3} \log{\left(1 + \sqrt{3} \right)}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} \log{\left(\sqrt{3} \right)}}{2} + \frac{10}{3} - \frac{3 \sqrt{3} \left(\log{\left(\sqrt{3} \right)} + i \pi\right)}{2} + \frac{3 \sqrt{3} \left(\log{\left(-1 + \sqrt{3} \right)} + i \pi\right)}{2} 
10/3 - 3*sqrt(3)*(pi*i + log(sqrt(3)))/2 - 3*sqrt(3)*log(1 + sqrt(3))/2 + 3*sqrt(3)*(pi*i + log(-1 + sqrt(3)))/2 + 3*sqrt(3)*log(sqrt(3))/2
Respuesta numérica [src] 
-0.0882236500209252
-0.0882236500209252

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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