Integral de (x^1,5-x+1)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u + \left(- u\right)^{\frac{3}{2}} + 1}{u}\, du$

      1. que $u = \frac{1}{u}$.

         Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{u \left(- \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} + u + 1}{u^{2}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u \left(- \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} + u + 1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{u \left(- \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} + u + 1}{u^{2}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u \left(- \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} + u + 1}{u^{2}} = \frac{\left(- \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}}}{u} + \frac{1}{u} + \frac{1}{u^{2}}$

            2. Integramos término a término:

               1. que $u = \frac{1}{u}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- \frac{\left(- u\right)^{\frac{3}{2}}}{u}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\left(- u\right)^{\frac{3}{2}}}{u}\, du = - \int \frac{\left(- u\right)^{\frac{3}{2}}}{u}\, du$

                     1. que $u = - u$.

                        Luego que $du = - du$ y ponemos $du$:

                        $\int \sqrt{u}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{2 \left(- u\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \left(- u\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{2 \left(- \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               El resultado es: $- \frac{2 \left(- \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + \log{\left(u \right)} - \frac{1}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \left(- \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - \log{\left(u \right)} + \frac{1}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $u + \frac{2 \left(- u\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - x + \log{\left(- x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x^{\frac{3}{2}} - x\right) + 1}{x} = - \frac{- x^{\frac{3}{2}} + x - 1}{x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{- x^{\frac{3}{2}} + x - 1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{- x^{\frac{3}{2}} + x - 1}{x}\, dx$

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} + u - 1}{u^{2}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} + u - 1}{u^{2}} = \frac{\left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}}}{u} + \frac{1}{u} - \frac{1}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. que $u = \frac{1}{u}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \sqrt{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sqrt{u}\, du = - \int \sqrt{u}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{2 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u}$

            El resultado es: $- \frac{2 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + \log{\left(u \right)} + \frac{1}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + x - \log{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - x + \log{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x^{\frac{3}{2}} - x\right) + 1}{x} = \sqrt{x} - 1 + \frac{1}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      El resultado es: $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - x + \log{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - x + \log{\left(- x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - x + \log{\left(- x \right)}+ \mathrm{constant}$