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Resolución de integrales/ 2cosx/ (-30+40cosx)(3-2cosx)

Integral de (-30+40cosx)(3-2cosx) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                                    
  /                                    
 |                                     
 |  (-30 + 40*cos(x))*(3 - 2*cos(x)) dx
 |                                     
/                                      
0
∫0π(3−2cos⁡(x))(40cos⁡(x)−30) dx\int\limits_{0}^{\pi} \left(3 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \left(40 \cos{\left(x \right)} - 30\right)\, dx 
Integral((-30 + 40*cos(x))*(3 - 2*cos(x)), (x, 0, pi))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3−2cos⁡(x))(40cos⁡(x)−30)=−80cos⁡2(x)+180cos⁡(x)−90\left(3 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \left(40 \cos{\left(x \right)} - 30\right) = - 80 \cos^{2}{\left(x \right)} + 180 \cos{\left(x \right)} - 90

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−80cos⁡2(x)) dx=−80∫cos⁡2(x) dx\int \left(- 80 \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 80 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −40x−20sin⁡(2x)- 40 x - 20 \sin{\left(2 x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫180cos⁡(x) dx=180∫cos⁡(x) dx\int 180 \cos{\left(x \right)}\, dx = 180 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 180sin⁡(x)180 \sin{\left(x \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−90) dx=−90x\int \left(-90\right)\, dx = - 90 x

      El resultado es: −130x+180sin⁡(x)−20sin⁡(2x)- 130 x + 180 \sin{\left(x \right)} - 20 \sin{\left(2 x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3−2cos⁡(x))(40cos⁡(x)−30)=−80cos⁡2(x)+180cos⁡(x)−90\left(3 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \left(40 \cos{\left(x \right)} - 30\right) = - 80 \cos^{2}{\left(x \right)} + 180 \cos{\left(x \right)} - 90

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−80cos⁡2(x)) dx=−80∫cos⁡2(x) dx\int \left(- 80 \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 80 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −40x−20sin⁡(2x)- 40 x - 20 \sin{\left(2 x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫180cos⁡(x) dx=180∫cos⁡(x) dx\int 180 \cos{\left(x \right)}\, dx = 180 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 180sin⁡(x)180 \sin{\left(x \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−90) dx=−90x\int \left(-90\right)\, dx = - 90 x

      El resultado es: −130x+180sin⁡(x)−20sin⁡(2x)- 130 x + 180 \sin{\left(x \right)} - 20 \sin{\left(2 x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −130x+180sin⁡(x)−20sin⁡(2x)+constant- 130 x + 180 \sin{\left(x \right)} - 20 \sin{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−130x+180sin⁡(x)−20sin⁡(2x)+constant- 130 x + 180 \sin{\left(x \right)} - 20 \sin{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                          
 |                                                                           
 | (-30 + 40*cos(x))*(3 - 2*cos(x)) dx = C - 130*x - 20*sin(2*x) + 180*sin(x)
 |                                                                           
/
∫(3−2cos⁡(x))(40cos⁡(x)−30) dx=C−130x+180sin⁡(x)−20sin⁡(2x)\int \left(3 - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \left(40 \cos{\left(x \right)} - 30\right)\, dx = C - 130 x + 180 \sin{\left(x \right)} - 20 \sin{\left(2 x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.00-500500
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-130*pi
−130π- 130 \pi 
=
= 
-130*pi
−130π- 130 \pi 
-130*pi
Respuesta numérica [src] 
-408.407044966673
-408.407044966673

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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