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Resolución de integrales/ (1/3)/ (x-3)/ (x-3)/(x^(1/3)-3)

Integral de (x-3)/(x^(1/3)-3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |    x - 3     
 |  --------- dx
 |  3 ___       
 |  \/ x  - 3   
 |              
/               
0
∫01x−3x3−3 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x - 3}{\sqrt[3]{x} - 3}\, dx 
Integral((x - 3)/(x^(1/3) - 3), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=x3u = \sqrt[3]{x}.

      Luego que du=dx3x23du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}} y ponemos dudu:

      ∫3u5−9u2u−3 du\int \frac{3 u^{5} - 9 u^{2}}{u - 3}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        3u5−9u2u−3=3u4+9u3+27u2+72u+216+648u−3\frac{3 u^{5} - 9 u^{2}}{u - 3} = 3 u^{4} + 9 u^{3} + 27 u^{2} + 72 u + 216 + \frac{648}{u - 3}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3u4 du=3∫u4 du\int 3 u^{4}\, du = 3 \int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: 3u55\frac{3 u^{5}}{5}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫9u3 du=9∫u3 du\int 9 u^{3}\, du = 9 \int u^{3}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: 9u44\frac{9 u^{4}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫27u2 du=27∫u2 du\int 27 u^{2}\, du = 27 \int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: 9u39 u^{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫72u du=72∫u du\int 72 u\, du = 72 \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 36u236 u^{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫216 du=216u\int 216\, du = 216 u

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫648u−3 du=648∫1u−3 du\int \frac{648}{u - 3}\, du = 648 \int \frac{1}{u - 3}\, du

          1. que u=u−3u = u - 3.

            Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(u−3)\log{\left(u - 3 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 648log⁡(u−3)648 \log{\left(u - 3 \right)}

        El resultado es: 3u55+9u44+9u3+36u2+216u+648log⁡(u−3)\frac{3 u^{5}}{5} + \frac{9 u^{4}}{4} + 9 u^{3} + 36 u^{2} + 216 u + 648 \log{\left(u - 3 \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      3x535+9x434+36x23+216x3+9x+648log⁡(x3−3)\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4} + 36 x^{\frac{2}{3}} + 216 \sqrt[3]{x} + 9 x + 648 \log{\left(\sqrt[3]{x} - 3 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x−3x3−3=xx3−3−3x3−3\frac{x - 3}{\sqrt[3]{x} - 3} = \frac{x}{\sqrt[3]{x} - 3} - \frac{3}{\sqrt[3]{x} - 3}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=x3u = \sqrt[3]{x}.

        Luego que du=dx3x23du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}} y ponemos 3du3 du:

        ∫3u5u−3 du\int \frac{3 u^{5}}{u - 3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u5u−3 du=3∫u5u−3 du\int \frac{u^{5}}{u - 3}\, du = 3 \int \frac{u^{5}}{u - 3}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u5u−3=u4+3u3+9u2+27u+81+243u−3\frac{u^{5}}{u - 3} = u^{4} + 3 u^{3} + 9 u^{2} + 27 u + 81 + \frac{243}{u - 3}

          2. Integramos término a término:

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫3u3 du=3∫u3 du\int 3 u^{3}\, du = 3 \int u^{3}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

              Por lo tanto, el resultado es: 3u44\frac{3 u^{4}}{4}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫9u2 du=9∫u2 du\int 9 u^{2}\, du = 9 \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: 3u33 u^{3}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫27u du=27∫u du\int 27 u\, du = 27 \int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: 27u22\frac{27 u^{2}}{2}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫81 du=81u\int 81\, du = 81 u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫243u−3 du=243∫1u−3 du\int \frac{243}{u - 3}\, du = 243 \int \frac{1}{u - 3}\, du

              1. que u=u−3u = u - 3.

                Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u−3)\log{\left(u - 3 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 243log⁡(u−3)243 \log{\left(u - 3 \right)}

            El resultado es: u55+3u44+3u3+27u22+81u+243log⁡(u−3)\frac{u^{5}}{5} + \frac{3 u^{4}}{4} + 3 u^{3} + \frac{27 u^{2}}{2} + 81 u + 243 \log{\left(u - 3 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 3u55+9u44+9u3+81u22+243u+729log⁡(u−3)\frac{3 u^{5}}{5} + \frac{9 u^{4}}{4} + 9 u^{3} + \frac{81 u^{2}}{2} + 243 u + 729 \log{\left(u - 3 \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        3x535+9x434+81x232+243x3+9x+729log⁡(x3−3)\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{81 x^{\frac{2}{3}}}{2} + 243 \sqrt[3]{x} + 9 x + 729 \log{\left(\sqrt[3]{x} - 3 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3x3−3) dx=−3∫1x3−3 dx\int \left(- \frac{3}{\sqrt[3]{x} - 3}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x} - 3}\, dx

        1. que u=x3u = \sqrt[3]{x}.

          Luego que du=dx3x23du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}} y ponemos 3du3 du:

          ∫3u2u−3 du\int \frac{3 u^{2}}{u - 3}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2u−3 du=3∫u2u−3 du\int \frac{u^{2}}{u - 3}\, du = 3 \int \frac{u^{2}}{u - 3}\, du

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              u2u−3=u+3+9u−3\frac{u^{2}}{u - 3} = u + 3 + \frac{9}{u - 3}

            2. Integramos término a término:

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫3 du=3u\int 3\, du = 3 u

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫9u−3 du=9∫1u−3 du\int \frac{9}{u - 3}\, du = 9 \int \frac{1}{u - 3}\, du

                1. que u=u−3u = u - 3.

                  Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                  ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                  1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  log⁡(u−3)\log{\left(u - 3 \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: 9log⁡(u−3)9 \log{\left(u - 3 \right)}

              El resultado es: u22+3u+9log⁡(u−3)\frac{u^{2}}{2} + 3 u + 9 \log{\left(u - 3 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 3u22+9u+27log⁡(u−3)\frac{3 u^{2}}{2} + 9 u + 27 \log{\left(u - 3 \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          3x232+9x3+27log⁡(x3−3)\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} + 9 \sqrt[3]{x} + 27 \log{\left(\sqrt[3]{x} - 3 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −9x232−27x3−81log⁡(x3−3)- \frac{9 x^{\frac{2}{3}}}{2} - 27 \sqrt[3]{x} - 81 \log{\left(\sqrt[3]{x} - 3 \right)}

      El resultado es: 3x535+9x434+36x23+216x3+9x+648log⁡(x3−3)\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4} + 36 x^{\frac{2}{3}} + 216 \sqrt[3]{x} + 9 x + 648 \log{\left(\sqrt[3]{x} - 3 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    3x535+9x434+36x23+216x3+9x+648log⁡(x3−3)+constant\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4} + 36 x^{\frac{2}{3}} + 216 \sqrt[3]{x} + 9 x + 648 \log{\left(\sqrt[3]{x} - 3 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x535+9x434+36x23+216x3+9x+648log⁡(x3−3)+constant\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4} + 36 x^{\frac{2}{3}} + 216 \sqrt[3]{x} + 9 x + 648 \log{\left(\sqrt[3]{x} - 3 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                    
 |                                                                         5/3      4/3
 |   x - 3                      2/3       3 ___          /     3 ___\   3*x      9*x   
 | --------- dx = C + 9*x + 36*x    + 216*\/ x  + 648*log\-3 + \/ x / + ------ + ------
 | 3 ___                                                                  5        4   
 | \/ x  - 3                                                                           
 |                                                                                     
/
∫x−3x3−3 dx=C+3x535+9x434+36x23+216x3+9x+648log⁡(x3−3)\int \frac{x - 3}{\sqrt[3]{x} - 3}\, dx = C + \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4} + 36 x^{\frac{2}{3}} + 216 \sqrt[3]{x} + 9 x + 648 \log{\left(\sqrt[3]{x} - 3 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.81.2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
5277                          
---- - 648*log(3) + 648*log(2)
 20
−648log⁡(3)+527720+648log⁡(2)- 648 \log{\left(3 \right)} + \frac{5277}{20} + 648 \log{\left(2 \right)} 
=
= 
5277                          
---- - 648*log(3) + 648*log(2)
 20
−648log⁡(3)+527720+648log⁡(2)- 648 \log{\left(3 \right)} + \frac{5277}{20} + 648 \log{\left(2 \right)} 
5277/20 - 648*log(3) + 648*log(2)
Respuesta numérica [src] 
1.10860994590948
1.10860994590948

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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