Sr Examen

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Integral de (-9cos^-1(x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 1/5         
  /          
 |           
 |   -9      
 |  ------ dx
 |  cos(x)   
 |           
/            
0            
$$\int\limits_{0}^{\frac{1}{5}} \left(- \frac{9}{\cos{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Integral(-9/cos(x), (x, 0, 1/5))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /         
 |          
 |  -9      
 | ------ dx
 | cos(x)   
 |          
/           
La función subintegral
 -9   
------
cos(x)
Multiplicamos numerador y denominador por
cos(x)
obtendremos
 -9      -9*cos(x)
------ = ---------
cos(x)       2    
          cos (x) 
Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
   2             2   
cos (x) = 1 - sin (x)
cambiamos denominador
-9*cos(x)    -9*cos(x) 
--------- = -----------
    2              2   
 cos (x)    1 - sin (x)
hacemos el cambio
u = sin(x)
entonces integral
  /                
 |                 
 |  -9*cos(x)      
 | ----------- dx  
 |        2       =
 | 1 - sin (x)     
 |                 
/                  
  
  /                
 |                 
 |  -9*cos(x)      
 | ----------- dx  
 |        2       =
 | 1 - sin (x)     
 |                 
/                  
  
Como du = dx*cos(x)
  /         
 |          
 |  -9      
 | ------ du
 |      2   
 | 1 - u    
 |          
/           
Reescribimos la función subintegral
 -9      -9  /  1       1  \
------ = ---*|----- + -----|
     2    2  \1 - u   1 + u/
1 - u                       
entonces
                     /               /          
                    |               |           
                    |   1           |   1       
                 9* | ----- du   9* | ----- du  
  /                 | 1 + u         | 1 - u     
 |                  |               |           
 |  -9             /               /           =
 | ------ du = - ------------- - -------------  
 |      2              2               2        
 | 1 - u                                        
 |                                              
/                                               
  
= -9*log(1 + u)/2 + 9*log(-1 + u)/2
hacemos cambio inverso
u = sin(x)
Respuesta
  /                                                         
 |                                                          
 |  -9           9*log(1 + sin(x))   9*log(-1 + sin(x))     
 | ------ dx = - ----------------- + ------------------ + C0
 | cos(x)                2                   2              
 |                                                          
/                                                           
donde C0 es la constante que no depende de x
Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                      
 |                                                       
 |  -9             9*log(1 + sin(x))   9*log(-1 + sin(x))
 | ------ dx = C - ----------------- + ------------------
 | cos(x)                  2                   2         
 |                                                       
/                                                        
$$\int \left(- \frac{9}{\cos{\left(x \right)}}\right)\, dx = C + \frac{9 \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{9 \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$$
Gráfica
Respuesta [src]
  9*log(1 + sin(1/5))   9*log(1 - sin(1/5))
- ------------------- + -------------------
           2                     2         
$$\frac{9 \log{\left(1 - \sin{\left(\frac{1}{5} \right)} \right)}}{2} - \frac{9 \log{\left(\sin{\left(\frac{1}{5} \right)} + 1 \right)}}{2}$$
=
=
  9*log(1 + sin(1/5))   9*log(1 - sin(1/5))
- ------------------- + -------------------
           2                     2         
$$\frac{9 \log{\left(1 - \sin{\left(\frac{1}{5} \right)} \right)}}{2} - \frac{9 \log{\left(\sin{\left(\frac{1}{5} \right)} + 1 \right)}}{2}$$
-9*log(1 + sin(1/5))/2 + 9*log(1 - sin(1/5))/2
Respuesta numérica [src]
-1.81212141210955
-1.81212141210955

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.