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Resolución de integrales/ 5-x^2/ x^5/(√(5-x^2))^5

Integral de x^5/(√(5-x^2))^5 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |        5        
 |       x         
 |  ------------ dx
 |             5   
 |     ________    
 |    /      2     
 |  \/  5 - x      
 |                 
/                  
0
∫01x5(5−x2)5 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{5}}{\left(\sqrt{5 - x^{2}}\right)^{5}}\, dx 
Integral(x^5/(sqrt(5 - x^2))^5, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x5(5−x2)5=x5x45−x2−10x25−x2+255−x2\frac{x^{5}}{\left(\sqrt{5 - x^{2}}\right)^{5}} = \frac{x^{5}}{x^{4} \sqrt{5 - x^{2}} - 10 x^{2} \sqrt{5 - x^{2}} + 25 \sqrt{5 - x^{2}}}

    2. que u=x2u = x^{2}.

      Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos dudu:

      ∫u22u25−u−20u5−u+505−u du\int \frac{u^{2}}{2 u^{2} \sqrt{5 - u} - 20 u \sqrt{5 - u} + 50 \sqrt{5 - u}}\, du

      1. que u=5−uu = \sqrt{5 - u}.

        Luego que du=−du25−udu = - \frac{du}{2 \sqrt{5 - u}} y ponemos −du- du:

        ∫(−(5−u2)210u2+(5−u2)2−25) du\int \left(- \frac{\left(5 - u^{2}\right)^{2}}{10 u^{2} + \left(5 - u^{2}\right)^{2} - 25}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(5−u2)210u2+(5−u2)2−25 du=−∫(5−u2)210u2+(5−u2)2−25 du\int \frac{\left(5 - u^{2}\right)^{2}}{10 u^{2} + \left(5 - u^{2}\right)^{2} - 25}\, du = - \int \frac{\left(5 - u^{2}\right)^{2}}{10 u^{2} + \left(5 - u^{2}\right)^{2} - 25}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            (5−u2)210u2+(5−u2)2−25=1−10u2+25u4\frac{\left(5 - u^{2}\right)^{2}}{10 u^{2} + \left(5 - u^{2}\right)^{2} - 25} = 1 - \frac{10}{u^{2}} + \frac{25}{u^{4}}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−10u2) du=−10∫1u2 du\int \left(- \frac{10}{u^{2}}\right)\, du = - 10 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

              Por lo tanto, el resultado es: 10u\frac{10}{u}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫25u4 du=25∫1u4 du\int \frac{25}{u^{4}}\, du = 25 \int \frac{1}{u^{4}}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

              Por lo tanto, el resultado es: −253u3- \frac{25}{3 u^{3}}

            El resultado es: u+10u−253u3u + \frac{10}{u} - \frac{25}{3 u^{3}}

          Por lo tanto, el resultado es: −u−10u+253u3- u - \frac{10}{u} + \frac{25}{3 u^{3}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −5−u−105−u+253(5−u)32- \sqrt{5 - u} - \frac{10}{\sqrt{5 - u}} + \frac{25}{3 \left(5 - u\right)^{\frac{3}{2}}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −5−x2−105−x2+253(5−x2)32- \sqrt{5 - x^{2}} - \frac{10}{\sqrt{5 - x^{2}}} + \frac{25}{3 \left(5 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x5(5−x2)5=x5x45−x2−10x25−x2+255−x2\frac{x^{5}}{\left(\sqrt{5 - x^{2}}\right)^{5}} = \frac{x^{5}}{x^{4} \sqrt{5 - x^{2}} - 10 x^{2} \sqrt{5 - x^{2}} + 25 \sqrt{5 - x^{2}}}

    2. que u=x2u = x^{2}.

      Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos dudu:

      ∫u22u25−u−20u5−u+505−u du\int \frac{u^{2}}{2 u^{2} \sqrt{5 - u} - 20 u \sqrt{5 - u} + 50 \sqrt{5 - u}}\, du

      1. que u=5−uu = \sqrt{5 - u}.

        Luego que du=−du25−udu = - \frac{du}{2 \sqrt{5 - u}} y ponemos −du- du:

        ∫(−(5−u2)210u2+(5−u2)2−25) du\int \left(- \frac{\left(5 - u^{2}\right)^{2}}{10 u^{2} + \left(5 - u^{2}\right)^{2} - 25}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(5−u2)210u2+(5−u2)2−25 du=−∫(5−u2)210u2+(5−u2)2−25 du\int \frac{\left(5 - u^{2}\right)^{2}}{10 u^{2} + \left(5 - u^{2}\right)^{2} - 25}\, du = - \int \frac{\left(5 - u^{2}\right)^{2}}{10 u^{2} + \left(5 - u^{2}\right)^{2} - 25}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            (5−u2)210u2+(5−u2)2−25=1−10u2+25u4\frac{\left(5 - u^{2}\right)^{2}}{10 u^{2} + \left(5 - u^{2}\right)^{2} - 25} = 1 - \frac{10}{u^{2}} + \frac{25}{u^{4}}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−10u2) du=−10∫1u2 du\int \left(- \frac{10}{u^{2}}\right)\, du = - 10 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

              Por lo tanto, el resultado es: 10u\frac{10}{u}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫25u4 du=25∫1u4 du\int \frac{25}{u^{4}}\, du = 25 \int \frac{1}{u^{4}}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

              Por lo tanto, el resultado es: −253u3- \frac{25}{3 u^{3}}

            El resultado es: u+10u−253u3u + \frac{10}{u} - \frac{25}{3 u^{3}}

          Por lo tanto, el resultado es: −u−10u+253u3- u - \frac{10}{u} + \frac{25}{3 u^{3}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −5−u−105−u+253(5−u)32- \sqrt{5 - u} - \frac{10}{\sqrt{5 - u}} + \frac{25}{3 \left(5 - u\right)^{\frac{3}{2}}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −5−x2−105−x2+253(5−x2)32- \sqrt{5 - x^{2}} - \frac{10}{\sqrt{5 - x^{2}}} + \frac{25}{3 \left(5 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}

  2. Ahora simplificar:

    10x2−(5−x2)2−1253(5−x2)32\frac{10 x^{2} - \left(5 - x^{2}\right)^{2} - \frac{125}{3}}{\left(5 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    10x2−(5−x2)2−1253(5−x2)32+constant\frac{10 x^{2} - \left(5 - x^{2}\right)^{2} - \frac{125}{3}}{\left(5 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

10x2−(5−x2)2−1253(5−x2)32+constant\frac{10 x^{2} - \left(5 - x^{2}\right)^{2} - \frac{125}{3}}{\left(5 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                               
 |                                                                
 |       5                  ________                              
 |      x                  /      2         10             25     
 | ------------ dx = C - \/  5 - x   - ----------- + -------------
 |            5                           ________             3/2
 |    ________                           /      2      /     2\   
 |   /      2                          \/  5 - x     3*\5 - x /   
 | \/  5 - x                                                      
 |                                                                
/
∫x5(5−x2)5 dx=C−5−x2−105−x2+253(5−x2)32\int \frac{x^{5}}{\left(\sqrt{5 - x^{2}}\right)^{5}}\, dx = C - \sqrt{5 - x^{2}} - \frac{10}{\sqrt{5 - x^{2}}} + \frac{25}{3 \left(5 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-10
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
            ___
  143   8*\/ 5 
- --- + -------
   24      3
−14324+853- \frac{143}{24} + \frac{8 \sqrt{5}}{3} 
=
= 
            ___
  143   8*\/ 5 
- --- + -------
   24      3
−14324+853- \frac{143}{24} + \frac{8 \sqrt{5}}{3} 
-143/24 + 8*sqrt(5)/3
Respuesta numérica [src] 
0.00451460666610586
0.00451460666610586

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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