Integral de xе^(1/2x+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{\frac{x}{2} + 1} x = e x e^{\frac{x}{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e x e^{\frac{x}{2}}\, dx = e \int x e^{\frac{x}{2}}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = \frac{x}{2}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int 2 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 e^{\frac{x}{2}}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 e^{\frac{x}{2}}\, dx = 2 \int e^{\frac{x}{2}}\, dx$

         1. que $u = \frac{x}{2}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int 2 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 e^{\frac{x}{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 e^{\frac{x}{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $e \left(2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{\frac{x}{2}}\right)$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{\frac{x}{2} + 1} x = e x e^{\frac{x}{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e x e^{\frac{x}{2}}\, dx = e \int x e^{\frac{x}{2}}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = \frac{x}{2}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int 2 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 e^{\frac{x}{2}}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 e^{\frac{x}{2}}\, dx = 2 \int e^{\frac{x}{2}}\, dx$

         1. que $u = \frac{x}{2}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int 2 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 e^{\frac{x}{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 e^{\frac{x}{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $e \left(2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{\frac{x}{2}}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $2 \left(x - 2\right) e^{\frac{x}{2} + 1}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 \left(x - 2\right) e^{\frac{x}{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \left(x - 2\right) e^{\frac{x}{2} + 1}+ \mathrm{constant}$