Integral de e^x/(1+2*e^x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{2 u + 1}\, du$

      1. que $u = 2 u + 1$.

         Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(2 u + 1 \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(2 e^{x} + 1 \right)}}{2}$

   Método #2

   1. que $u = 2 e^{x} + 1$.

      Luego que $du = 2 e^{x} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{2 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(2 e^{x} + 1 \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(2 e^{x} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(2 e^{x} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$