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Resolución de integrales/ Ln(z-x-y)/(x-e)(x+y-e)

Integral de Ln(z-x-y)/(x-e)(x+y-e) dz

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 x + y + z                             
     /                                 
    |                                  
    |     log(z - x - y)               
    |     --------------*(x + y - E) dz
    |         x - E                    
    |                                  
   /                                   
   E
∫ex+y+zlog⁡(−y+(−x+z))x−e((x+y)−e) dz\int\limits_{e}^{x + y + z} \frac{\log{\left(- y + \left(- x + z\right) \right)}}{x - e} \left(\left(x + y\right) - e\right)\, dz 
Integral((log(z - x - y)/(x - E))*(x + y - E), (z, E, x + y + z))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫log⁡(−y+(−x+z))x−e((x+y)−e) dz=((x+y)−e)∫log⁡(−y+(−x+z))x−e dz\int \frac{\log{\left(- y + \left(- x + z\right) \right)}}{x - e} \left(\left(x + y\right) - e\right)\, dz = \left(\left(x + y\right) - e\right) \int \frac{\log{\left(- y + \left(- x + z\right) \right)}}{x - e}\, dz

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫log⁡(−y+(−x+z))x−e dz=∫log⁡(−y+(−x+z)) dzx−e\int \frac{\log{\left(- y + \left(- x + z\right) \right)}}{x - e}\, dz = \frac{\int \log{\left(- y + \left(- x + z\right) \right)}\, dz}{x - e}

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=−y+(−x+z)u = - y + \left(- x + z\right).

          Luego que du=dzdu = dz y ponemos dudu:

          ∫log⁡(u) du\int \log{\left(u \right)}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=log⁡(u)u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1.

            Entonces du⁡(u)=1u\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          Si ahora sustituir uu más en:

          x+y−z+(−y+(−x+z))log⁡(−y+(−x+z))x + y - z + \left(- y + \left(- x + z\right)\right) \log{\left(- y + \left(- x + z\right) \right)}

        Método #2

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(z)=log⁡(−y+(−x+z))u{\left(z \right)} = \log{\left(- y + \left(- x + z\right) \right)} y que dv⁡(z)=1\operatorname{dv}{\left(z \right)} = 1.

          Entonces du⁡(z)=1−y+(−x+z)\operatorname{du}{\left(z \right)} = \frac{1}{- y + \left(- x + z\right)}.

          Para buscar v(z)v{\left(z \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dz=z\int 1\, dz = z

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            z−y+(−x+z)=−x+yx+y−z+1\frac{z}{- y + \left(- x + z\right)} = - \frac{x + y}{x + y - z} + 1

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−x+yx+y−z) dz=(−x−y)∫1x+y−z dz\int \left(- \frac{x + y}{x + y - z}\right)\, dz = \left(- x - y\right) \int \frac{1}{x + y - z}\, dz

              1. que u=x+y−zu = x + y - z.

                Luego que du=−dzdu = - dz y ponemos −du- du:

                ∫(−1u) du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫1u du=−∫1u du\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

                  1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                  Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −log⁡(x+y−z)- \log{\left(x + y - z \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −(−x−y)log⁡(x+y−z)- \left(- x - y\right) \log{\left(x + y - z \right)}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 dz=z\int 1\, dz = z

            El resultado es: z−(−x−y)log⁡(x+y−z)z - \left(- x - y\right) \log{\left(x + y - z \right)}

          Método #2

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            z−y+(−x+z)=−zx+y−z\frac{z}{- y + \left(- x + z\right)} = - \frac{z}{x + y - z}

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−zx+y−z) dz=−∫zx+y−z dz\int \left(- \frac{z}{x + y - z}\right)\, dz = - \int \frac{z}{x + y - z}\, dz

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              zx+y−z=x+yx+y−z−1\frac{z}{x + y - z} = \frac{x + y}{x + y - z} - 1

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫x+yx+y−z dz=(x+y)∫1x+y−z dz\int \frac{x + y}{x + y - z}\, dz = \left(x + y\right) \int \frac{1}{x + y - z}\, dz

                1. que u=x+y−zu = x + y - z.

                  Luego que du=−dzdu = - dz y ponemos −du- du:

                  ∫(−1u) du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫1u du=−∫1u du\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

                    1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                    Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  −log⁡(x+y−z)- \log{\left(x + y - z \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −(x+y)log⁡(x+y−z)- \left(x + y\right) \log{\left(x + y - z \right)}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫(−1) dz=−z\int \left(-1\right)\, dz = - z

              El resultado es: −z−(x+y)log⁡(x+y−z)- z - \left(x + y\right) \log{\left(x + y - z \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: z+(x+y)log⁡(x+y−z)z + \left(x + y\right) \log{\left(x + y - z \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: x+y−z+(−y+(−x+z))log⁡(−y+(−x+z))x−e\frac{x + y - z + \left(- y + \left(- x + z\right)\right) \log{\left(- y + \left(- x + z\right) \right)}}{x - e}

    Por lo tanto, el resultado es: ((x+y)−e)(x+y−z+(−y+(−x+z))log⁡(−y+(−x+z)))x−e\frac{\left(\left(x + y\right) - e\right) \left(x + y - z + \left(- y + \left(- x + z\right)\right) \log{\left(- y + \left(- x + z\right) \right)}\right)}{x - e}

  2. Ahora simplificar:

    (x+y−e)(x+y−z−(x+y−z)log⁡(−x−y+z))x−e\frac{\left(x + y - e\right) \left(x + y - z - \left(x + y - z\right) \log{\left(- x - y + z \right)}\right)}{x - e}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (x+y−e)(x+y−z−(x+y−z)log⁡(−x−y+z))x−e+constant\frac{\left(x + y - e\right) \left(x + y - z - \left(x + y - z\right) \log{\left(- x - y + z \right)}\right)}{x - e}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(x+y−e)(x+y−z−(x+y−z)log⁡(−x−y+z))x−e+constant\frac{\left(x + y - e\right) \left(x + y - z - \left(x + y - z\right) \log{\left(- x - y + z \right)}\right)}{x - e}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                        
 |                                                                                         
 | log(z - x - y)                      (x + y - E)*(x + y - z + (z - x - y)*log(z - x - y))
 | --------------*(x + y - E) dz = C + ----------------------------------------------------
 |     x - E                                                  x - E                        
 |                                                                                         
/
∫log⁡(−y+(−x+z))x−e((x+y)−e) dz=C+((x+y)−e)(x+y−z+(−y+(−x+z))log⁡(−y+(−x+z)))x−e\int \frac{\log{\left(- y + \left(- x + z\right) \right)}}{x - e} \left(\left(x + y\right) - e\right)\, dz = C + \frac{\left(\left(x + y\right) - e\right) \left(x + y - z + \left(- y + \left(- x + z\right)\right) \log{\left(- y + \left(- x + z\right) \right)}\right)}{x - e}
Simplificar
Respuesta [src] 
                                                                                                                                                   /   2            \               
/x + y + z   (x + y)*log(z)\               /  E     (x + y)*log(E - x - y)\               (x*(x + y + z) + y*(x + y + z) - E*(x + y + z))*log(z)   \- e  + E*x + E*y/*log(E - x - y)
|--------- + --------------|*(E - x - y) - |----- + ----------------------|*(E - x - y) + ------------------------------------------------------ - ---------------------------------
\  x - E         x - E     /               \x - E           x - E         /                                       x - E                                          x - E
((x+y)log⁡(z)x−e+x+y+zx−e)(−x−y+e)−((x+y)log⁡(−x−y+e)x−e+ex−e)(−x−y+e)−(ex+ey−e2)log⁡(−x−y+e)x−e+(x(x+y+z)+y(x+y+z)−e(x+y+z))log⁡(z)x−e\left(\frac{\left(x + y\right) \log{\left(z \right)}}{x - e} + \frac{x + y + z}{x - e}\right) \left(- x - y + e\right) - \left(\frac{\left(x + y\right) \log{\left(- x - y + e \right)}}{x - e} + \frac{e}{x - e}\right) \left(- x - y + e\right) - \frac{\left(e x + e y - e^{2}\right) \log{\left(- x - y + e \right)}}{x - e} + \frac{\left(x \left(x + y + z\right) + y \left(x + y + z\right) - e \left(x + y + z\right)\right) \log{\left(z \right)}}{x - e} 
=
= 
                                                                                                                                                   /   2            \               
/x + y + z   (x + y)*log(z)\               /  E     (x + y)*log(E - x - y)\               (x*(x + y + z) + y*(x + y + z) - E*(x + y + z))*log(z)   \- e  + E*x + E*y/*log(E - x - y)
|--------- + --------------|*(E - x - y) - |----- + ----------------------|*(E - x - y) + ------------------------------------------------------ - ---------------------------------
\  x - E         x - E     /               \x - E           x - E         /                                       x - E                                          x - E
((x+y)log⁡(z)x−e+x+y+zx−e)(−x−y+e)−((x+y)log⁡(−x−y+e)x−e+ex−e)(−x−y+e)−(ex+ey−e2)log⁡(−x−y+e)x−e+(x(x+y+z)+y(x+y+z)−e(x+y+z))log⁡(z)x−e\left(\frac{\left(x + y\right) \log{\left(z \right)}}{x - e} + \frac{x + y + z}{x - e}\right) \left(- x - y + e\right) - \left(\frac{\left(x + y\right) \log{\left(- x - y + e \right)}}{x - e} + \frac{e}{x - e}\right) \left(- x - y + e\right) - \frac{\left(e x + e y - e^{2}\right) \log{\left(- x - y + e \right)}}{x - e} + \frac{\left(x \left(x + y + z\right) + y \left(x + y + z\right) - e \left(x + y + z\right)\right) \log{\left(z \right)}}{x - e} 
((x + y + z)/(x - E) + (x + y)*log(z)/(x - E))*(E - x - y) - (E/(x - E) + (x + y)*log(E - x - y)/(x - E))*(E - x - y) + (x*(x + y + z) + y*(x + y + z) - E*(x + y + z))*log(z)/(x - E) - (-exp(2) + E*x + E*y)*log(E - x - y)/(x - E)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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