Integral de 2piycos2piy dy

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(y \right)} = 2 \pi y$ y que $\operatorname{dv}{\left(y \right)} = \cos{\left(2 \pi y \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(y \right)} = 2 \pi$.

   Para buscar $v{\left(y \right)}$:

   1. que $u = 2 \pi y$.

      Luego que $du = 2 \pi dy$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin{\left(2 \pi y \right)}}{2 \pi}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. que $u = 2 \pi y$.

   Luego que $du = 2 \pi dy$ y ponemos $\frac{du}{2 \pi}$:

   $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \frac{\cos{\left(2 \pi y \right)}}{2 \pi}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $y \sin{\left(2 \pi y \right)} + \frac{\cos{\left(2 \pi y \right)}}{2 \pi}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$y \sin{\left(2 \pi y \right)} + \frac{\cos{\left(2 \pi y \right)}}{2 \pi}+ \mathrm{constant}$