Integral de 1/(1000-2y) dy

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 1000 - 2 y$.

      Luego que $du = - 2 dy$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(1000 - 2 y \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{1000 - 2 y} = - \frac{1}{2 \left(y - 500\right)}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{2 \left(y - 500\right)}\right)\, dy = - \frac{\int \frac{1}{y - 500}\, dy}{2}$

      1. que $u = y - 500$.

         Luego que $du = dy$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(y - 500 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(y - 500 \right)}}{2}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{1000 - 2 y} = - \frac{1}{2 y - 1000}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{2 y - 1000}\right)\, dy = - \int \frac{1}{2 y - 1000}\, dy$

      1. que $u = 2 y - 1000$.

         Luego que $du = 2 dy$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(2 y - 1000 \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(2 y - 1000 \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(1000 - 2 y \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(1000 - 2 y \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$