Integral de (3x^2-(x^1/5)+3)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - \sqrt[5]{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{15 u^{10} + 5 u + 15}{u}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{15 u^{10} + 5 u + 15}{u} = 15 u^{9} + 5 + \frac{15}{u}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 15 u^{9}\, du = 15 \int u^{9}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{10}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 5\, du = 5 u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{15}{u}\, du = 15 \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $15 \log{\left(u \right)}$

         El resultado es: $\frac{3 u^{10}}{2} + 5 u + 15 \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 5 \sqrt[5]{x} + \frac{3 x^{2}}{2} + 15 \log{\left(- \sqrt[5]{x} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(- \sqrt[5]{x} + 3 x^{2}\right) + 3}{x} = 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{x}\, dx = 3 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $3 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}\, dx = 5 \sqrt[5]{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 5 \sqrt[5]{x}$

      El resultado es: $- 5 \sqrt[5]{x} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 \log{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 5 \sqrt[5]{x} + \frac{3 x^{2}}{2} + 15 \log{\left(- \sqrt[5]{x} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 5 \sqrt[5]{x} + \frac{3 x^{2}}{2} + 15 \log{\left(- \sqrt[5]{x} \right)}+ \mathrm{constant}$