Integral de (2^((1/2)x)+3) dx

1. Integramos término a término:

   1. que $u = \frac{x}{2}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 \cdot 2^{u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2^{u}\, du = 2 \int 2^{u}\, du$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cdot 2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \cdot 2^{\frac{x}{2}}}{\log{\left(2 \right)}}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 3\, dx = 3 x$

   El resultado es: $\frac{2 \cdot 2^{\frac{x}{2}}}{\log{\left(2 \right)}} + 3 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2^{\frac{x}{2} + 1} + x \log{\left(8 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2^{\frac{x}{2} + 1} + x \log{\left(8 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2^{\frac{x}{2} + 1} + x \log{\left(8 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$