Integral de y^2/(1+y^3) dy

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = y^{3} + 1$.

      Luego que $du = 3 y^{2} dy$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{3 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(y^{3} + 1 \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{y^{2}}{y^{3} + 1} = \frac{2 y - 1}{3 \left(y^{2} - y + 1\right)} + \frac{1}{3 \left(y + 1\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 y - 1}{3 \left(y^{2} - y + 1\right)}\, dy = \frac{\int \frac{2 y - 1}{y^{2} - y + 1}\, dy}{3}$

         1. que $u = y^{2} - y + 1$.

            Luego que $du = \left(2 y - 1\right) dy$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(y^{2} - y + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(y^{2} - y + 1 \right)}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{3 \left(y + 1\right)}\, dy = \frac{\int \frac{1}{y + 1}\, dy}{3}$

         1. que $u = y + 1$.

            Luego que $du = dy$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(y + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(y + 1 \right)}}{3}$

      El resultado es: $\frac{\log{\left(y + 1 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(y^{2} - y + 1 \right)}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(y^{3} + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(y^{3} + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$