Sr Examen

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Integral de (5-x)/(3x²+1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1            
  /            
 |             
 |   5 - x     
 |  -------- dx
 |     2       
 |  3*x  + 1   
 |             
/              
0              
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{5 - x}{3 x^{2} + 1}\, dx$$
Integral((5 - x)/(3*x^2 + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /           
 |            
 |  5 - x     
 | -------- dx
 |    2       
 | 3*x  + 1   
 |            
/             
Reescribimos la función subintegral
             /    3*2*x     \                  
             |--------------|         /5\      
             |   2          |         |-|      
 5 - x       \3*x  + 0*x + 1/         \1/      
-------- = - ---------------- + ---------------
   2                6                     2    
3*x  + 1                        /   ___  \     
                                \-\/ 3 *x/  + 1
o
  /             
 |              
 |  5 - x       
 | -------- dx  
 |    2        =
 | 3*x  + 1     
 |              
/               
  
                            /                 
                           |                  
                           |     3*2*x        
                           | -------------- dx
                           |    2             
    /                      | 3*x  + 0*x + 1   
   |                       |                  
   |        1             /                   
5* | --------------- dx - --------------------
   |           2                   6          
   | /   ___  \                               
   | \-\/ 3 *x/  + 1                          
   |                                          
  /                                           
En integral
   /                  
  |                   
  |     3*2*x         
- | -------------- dx 
  |    2              
  | 3*x  + 0*x + 1    
  |                   
 /                    
----------------------
          6           
hacemos el cambio
       2
u = 3*x 
entonces
integral =
   /                        
  |                         
  |   1                     
- | ----- du                
  | 1 + u                   
  |                         
 /              -log(1 + u) 
------------- = ------------
      6              6      
hacemos cambio inverso
   /                                    
  |                                     
  |     3*2*x                           
- | -------------- dx                   
  |    2                                
  | 3*x  + 0*x + 1                      
  |                          /       2\ 
 /                       -log\1 + 3*x / 
---------------------- = ---------------
          6                     6       
En integral
    /                  
   |                   
   |        1          
5* | --------------- dx
   |           2       
   | /   ___  \        
   | \-\/ 3 *x/  + 1   
   |                   
  /                    
hacemos el cambio
         ___
v = -x*\/ 3 
entonces
integral =
    /                     
   |                      
   |   1                  
5* | ------ dv = 5*atan(v)
   |      2               
   | 1 + v                
   |                      
  /                       
hacemos cambio inverso
    /                                          
   |                          ___     /    ___\
   |        1             5*\/ 3 *atan\x*\/ 3 /
5* | --------------- dx = ---------------------
   |           2                    3          
   | /   ___  \                                
   | \-\/ 3 *x/  + 1                           
   |                                           
  /                                            
La solución:
       /1    2\                        
    log|- + x |       ___     /    ___\
       \3     /   5*\/ 3 *atan\x*\/ 3 /
C - ----------- + ---------------------
         6                  3          
Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                       
 |                      /       2\       ___     /    ___\
 |  5 - x            log\1 + 3*x /   5*\/ 3 *atan\x*\/ 3 /
 | -------- dx = C - ------------- + ---------------------
 |    2                    6                   3          
 | 3*x  + 1                                               
 |                                                        
/                                                         
$$\int \frac{5 - x}{3 x^{2} + 1}\, dx = C - \frac{\log{\left(3 x^{2} + 1 \right)}}{6} + \frac{5 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{3}$$
Gráfica
Respuesta [src]
                             ___
  log(3)   log(4/3)   5*pi*\/ 3 
- ------ - -------- + ----------
    6         6           9     
$$- \frac{\log{\left(3 \right)}}{6} - \frac{\log{\left(\frac{4}{3} \right)}}{6} + \frac{5 \sqrt{3} \pi}{9}$$
=
=
                             ___
  log(3)   log(4/3)   5*pi*\/ 3 
- ------ - -------- + ----------
    6         6           9     
$$- \frac{\log{\left(3 \right)}}{6} - \frac{\log{\left(\frac{4}{3} \right)}}{6} + \frac{5 \sqrt{3} \pi}{9}$$
-log(3)/6 - log(4/3)/6 + 5*pi*sqrt(3)/9
Respuesta numérica [src]
2.79194988020371
2.79194988020371

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.