Sr Examen
Integral de (-x-2)/(x^2+x+1) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | -x - 2 | ---------- dx | 2 | x + x + 1 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{- x - 2}{\left(x^{2} + x\right) + 1}\, dx$$
Integral((-x - 2)/(x^2 + x + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | -x - 2 | ---------- dx | 2 | x + x + 1 | /
Reescribimos la función subintegral
/ 2*x + 1 \
|----------| / -3 \
| 2 | |-----|
-x - 2 \x + x + 1/ \2*3/4/
---------- = - ------------ + -------------------------
2 2 2
x + x + 1 / ___ ___\
|-2*\/ 3 \/ 3 |
|--------*x - -----| + 1
\ 3 3 / o
/ | | -x - 2 | ---------- dx | 2 = | x + x + 1 | /
/
|
| 2*x + 1
| ---------- dx
| 2
/ | x + x + 1
| |
| 1 /
- 2* | ------------------------- dx - ----------------
| 2 2
| / ___ ___\
| |-2*\/ 3 \/ 3 |
| |--------*x - -----| + 1
| \ 3 3 /
|
/ En integral
/
|
| 2*x + 1
- | ---------- dx
| 2
| x + x + 1
|
/
------------------
2 hacemos el cambio
2 u = x + x
entonces
integral =
/
|
| 1
- | ----- du
| 1 + u
|
/ -log(1 + u)
------------- = ------------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 2*x + 1
- | ---------- dx
| 2
| x + x + 1
| / 2\
/ -log\1 + x + x /
------------------ = -----------------
2 2 En integral
/
|
| 1
-2* | ------------------------- dx
| 2
| / ___ ___\
| |-2*\/ 3 \/ 3 |
| |--------*x - -----| + 1
| \ 3 3 /
|
/ hacemos el cambio
___ ___
\/ 3 2*x*\/ 3
v = - ----- - ---------
3 3 entonces
integral =
/
|
| 1
-2* | ------ dv = -2*atan(v)
| 2
| 1 + v
|
/ hacemos cambio inverso
/
| / ___ ___\
| 1 ___ |\/ 3 2*x*\/ 3 |
-2* | ------------------------- dx = -\/ 3 *atan|----- + ---------|
| 2 \ 3 3 /
| / ___ ___\
| |-2*\/ 3 \/ 3 |
| |--------*x - -----| + 1
| \ 3 3 /
|
/ La solución:
/ 2\ / ___ ___\
log\1 + x + x / ___ |\/ 3 2*x*\/ 3 |
C - --------------- - \/ 3 *atan|----- + ---------|
2 \ 3 3 /
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | / 2\ / ___ \ | -x - 2 log\1 + x + x / ___ |-2*\/ 3 *(-1/2 - x)| | ---------- dx = C - --------------- - \/ 3 *atan|-------------------| | 2 2 \ 3 / | x + x + 1 | /
$$\int \frac{- x - 2}{\left(x^{2} + x\right) + 1}\, dx = C - \frac{\log{\left(x^{2} + x + 1 \right)}}{2} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(- \frac{2 \sqrt{3} \left(- x - \frac{1}{2}\right)}{3} \right)}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
___
log(3) pi*\/ 3
- ------ - --------
2 6
$$- \frac{\sqrt{3} \pi}{6} - \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}$$
=
=
___
log(3) pi*\/ 3
- ------ - --------
2 6
$$- \frac{\sqrt{3} \pi}{6} - \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}$$
-log(3)/2 - pi*sqrt(3)/6
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.