Sr Examen
Integral de (-x-5)/(x^2+2*x+5) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | -x - 5 | ------------ dx | 2 | x + 2*x + 5 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{- x - 5}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 5}\, dx$$
Integral((-x - 5)/(x^2 + 2*x + 5), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | -x - 5 | ------------ dx | 2 | x + 2*x + 5 | /
Reescribimos la función subintegral
/ 2*x + 2 \
|------------| /-4 \
| 2 | |---|
-x - 5 \x + 2*x + 5/ \ 4 /
------------ = - -------------- + --------------
2 2 2
x + 2*x + 5 / x 1\
|- - - -| + 1
\ 2 2/ o
/ | | -x - 5 | ------------ dx | 2 = | x + 2*x + 5 | /
/
|
| 2*x + 2
| ------------ dx
| 2
/ | x + 2*x + 5
| |
| 1 /
- | -------------- dx - ------------------
| 2 2
| / x 1\
| |- - - -| + 1
| \ 2 2/
|
/ En integral
/
|
| 2*x + 2
- | ------------ dx
| 2
| x + 2*x + 5
|
/
--------------------
2 hacemos el cambio
2 u = x + 2*x
entonces
integral =
/
|
| 1
- | ----- du
| 5 + u
|
/ -log(5 + u)
------------- = ------------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 2*x + 2
- | ------------ dx
| 2
| x + 2*x + 5
| / 2 \
/ -log\5 + x + 2*x/
-------------------- = -------------------
2 2 En integral
/ | | 1 - | -------------- dx | 2 | / x 1\ | |- - - -| + 1 | \ 2 2/ | /
hacemos el cambio
1 x
v = - - - -
2 2entonces
integral =
/ | | 1 - | ------ dv = -atan(v) | 2 | 1 + v | /
hacemos cambio inverso
/ | | 1 /1 x\ - | -------------- dx = -2*atan|- + -| | 2 \2 2/ | / x 1\ | |- - - -| + 1 | \ 2 2/ | /
La solución:
/ 2 \
/1 x\ log\5 + x + 2*x/
C - 2*atan|- + -| - -----------------
\2 2/ 2
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | / 2 \ | -x - 5 /1 x\ log\5 + x + 2*x/ | ------------ dx = C - 2*atan|- + -| - ----------------- | 2 \2 2/ 2 | x + 2*x + 5 | /
$$\int \frac{- x - 5}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 5}\, dx = C - \frac{\log{\left(x^{2} + 2 x + 5 \right)}}{2} - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right)}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
log(5) pi log(8) ------ + 2*atan(1/2) - -- - ------ 2 2 2
$$- \frac{\pi}{2} - \frac{\log{\left(8 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} + 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
=
=
log(5) pi log(8) ------ + 2*atan(1/2) - -- - ------ 2 2 2
$$- \frac{\pi}{2} - \frac{\log{\left(8 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} + 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
log(5)/2 + 2*atan(1/2) - pi/2 - log(8)/2
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.