Integral de (-23.2*x+6.4+10*(x^2))*(2-x)/3 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\left(2 - x\right) \left(10 x^{2} + \left(\frac{32}{5} - \frac{116 x}{5}\right)\right)}{3}\, dx = \frac{\int \left(2 - x\right) \left(10 x^{2} + \left(\frac{32}{5} - \frac{116 x}{5}\right)\right)\, dx}{3}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(- 10 u^{3} - \frac{216 u^{2}}{5} - \frac{264 u}{5} - \frac{64}{5}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 10 u^{3}\right)\, du = - 10 \int u^{3}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 u^{4}}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{216 u^{2}}{5}\right)\, du = - \frac{216 \int u^{2}\, du}{5}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{72 u^{3}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{264 u}{5}\right)\, du = - \frac{264 \int u\, du}{5}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{132 u^{2}}{5}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(- \frac{64}{5}\right)\, du = - \frac{64 u}{5}$

            El resultado es: $- \frac{5 u^{4}}{2} - \frac{72 u^{3}}{5} - \frac{132 u^{2}}{5} - \frac{64 u}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{72 x^{3}}{5} - \frac{132 x^{2}}{5} + \frac{64 x}{5}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(2 - x\right) \left(10 x^{2} + \left(\frac{32}{5} - \frac{116 x}{5}\right)\right) = - 10 x^{3} + \frac{216 x^{2}}{5} - \frac{264 x}{5} + \frac{64}{5}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 10 x^{3}\right)\, dx = - 10 \int x^{3}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 x^{4}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{216 x^{2}}{5}\, dx = \frac{216 \int x^{2}\, dx}{5}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{72 x^{3}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{264 x}{5}\right)\, dx = - \frac{264 \int x\, dx}{5}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{132 x^{2}}{5}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{64}{5}\, dx = \frac{64 x}{5}$

         El resultado es: $- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{72 x^{3}}{5} - \frac{132 x^{2}}{5} + \frac{64 x}{5}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 x^{4}}{6} + \frac{24 x^{3}}{5} - \frac{44 x^{2}}{5} + \frac{64 x}{15}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(- 25 x^{3} + 144 x^{2} - 264 x + 128\right)}{30}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(- 25 x^{3} + 144 x^{2} - 264 x + 128\right)}{30}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(- 25 x^{3} + 144 x^{2} - 264 x + 128\right)}{30}+ \mathrm{constant}$