Integral de (e^x-4)^2*e^x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x} - 4$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{2}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(e^{x} - 4\right)^{3}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{x} \left(e^{x} - 4\right)^{2} = e^{3 x} - 8 e^{2 x} + 16 e^{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{3 x}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 8 e^{2 x}\right)\, dx = - 8 \int e^{2 x}\, dx$

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{2 x}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 e^{2 x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 16 e^{x}\, dx = 16 \int e^{x}\, dx$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $16 e^{x}$

      El resultado es: $\frac{e^{3 x}}{3} - 4 e^{2 x} + 16 e^{x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{x} \left(e^{x} - 4\right)^{2} = e^{3 x} - 8 e^{2 x} + 16 e^{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{3 x}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 8 e^{2 x}\right)\, dx = - 8 \int e^{2 x}\, dx$

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{2 x}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 e^{2 x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 16 e^{x}\, dx = 16 \int e^{x}\, dx$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $16 e^{x}$

      El resultado es: $\frac{e^{3 x}}{3} - 4 e^{2 x} + 16 e^{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(e^{x} - 4\right)^{3}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(e^{x} - 4\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(e^{x} - 4\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$