Integral de sqrtlnx-3/x dx

1. Integramos término a término:

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int \sqrt{u} e^{u}\, du$

      UpperGammaRule(a=1, e=1/2, context=sqrt(_u)*exp(_u), symbol=_u)

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x \sqrt{- \log{\left(x \right)}} + \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{2}\right) \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{\sqrt{- \log{\left(x \right)}}}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{3}{x}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x}\, dx$

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \log{\left(x \right)}$

   El resultado es: $- 3 \log{\left(x \right)} + \frac{\left(x \sqrt{- \log{\left(x \right)}} + \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{2}\right) \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{\sqrt{- \log{\left(x \right)}}}$

2. Ahora simplificar:

   $x \sqrt{\log{\left(x \right)}} - 3 \log{\left(x \right)} + \frac{\sqrt{\pi} \sqrt{\log{\left(x \right)}} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{2 \sqrt{- \log{\left(x \right)}}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \sqrt{\log{\left(x \right)}} - 3 \log{\left(x \right)} + \frac{\sqrt{\pi} \sqrt{\log{\left(x \right)}} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{2 \sqrt{- \log{\left(x \right)}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \sqrt{\log{\left(x \right)}} - 3 \log{\left(x \right)} + \frac{\sqrt{\pi} \sqrt{\log{\left(x \right)}} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{2 \sqrt{- \log{\left(x \right)}}}+ \mathrm{constant}$