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Resolución de integrales/ cos(3x)/ (x^2)/ (x^2)*cos(3x)

Integral de (x^2)*cos(3x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |   2            
 |  x *cos(3*x) dx
 |                
/                 
0
∫01x2cos⁡(3x) dx\int\limits_{0}^{1} x^{2} \cos{\left(3 x \right)}\, dx 
Integral(x^2*cos(3*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=cos⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}.

    Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. que u=3xu = 3 x.

      Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

      ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=2x3u{\left(x \right)} = \frac{2 x}{3} y que dv⁡(x)=sin⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}.

    Entonces du⁡(x)=23\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{3}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. que u=3xu = 3 x.

      Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

      ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

    Ahora resolvemos podintegral.

  3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−2cos⁡(3x)9) dx=−2∫cos⁡(3x) dx9\int \left(- \frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{9}\right)\, dx = - \frac{2 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{9}

    1. que u=3xu = 3 x.

      Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

      ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

    Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(3x)27- \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{27}

  4. Añadimos la constante de integración:

    x2sin⁡(3x)3+2xcos⁡(3x)9−2sin⁡(3x)27+constant\frac{x^{2} \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{2 x \cos{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{27}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2sin⁡(3x)3+2xcos⁡(3x)9−2sin⁡(3x)27+constant\frac{x^{2} \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{2 x \cos{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{27}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
 |                                    2                        
 |  2                   2*sin(3*x)   x *sin(3*x)   2*x*cos(3*x)
 | x *cos(3*x) dx = C - ---------- + ----------- + ------------
 |                          27            3             9      
/
∫x2cos⁡(3x) dx=C+x2sin⁡(3x)3+2xcos⁡(3x)9−2sin⁡(3x)27\int x^{2} \cos{\left(3 x \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{2 x \cos{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{27}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
2*cos(3)   7*sin(3)
-------- + --------
   9          27
2cos⁡(3)9+7sin⁡(3)27\frac{2 \cos{\left(3 \right)}}{9} + \frac{7 \sin{\left(3 \right)}}{27} 
=
= 
2*cos(3)   7*sin(3)
-------- + --------
   9          27
2cos⁡(3)9+7sin⁡(3)27\frac{2 \cos{\left(3 \right)}}{9} + \frac{7 \sin{\left(3 \right)}}{27} 
2*cos(3)/9 + 7*sin(3)/27
Respuesta numérica [src] 
-0.183411663821615
-0.183411663821615

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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