Integral de (x+5)^6 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x + 5$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{6}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x + 5\right)^{7}}{7}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x + 5\right)^{6} = x^{6} + 30 x^{5} + 375 x^{4} + 2500 x^{3} + 9375 x^{2} + 18750 x + 15625$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 30 x^{5}\, dx = 30 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 375 x^{4}\, dx = 375 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $75 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2500 x^{3}\, dx = 2500 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $625 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9375 x^{2}\, dx = 9375 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3125 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 18750 x\, dx = 18750 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $9375 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 15625\, dx = 15625 x$

      El resultado es: $\frac{x^{7}}{7} + 5 x^{6} + 75 x^{5} + 625 x^{4} + 3125 x^{3} + 9375 x^{2} + 15625 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x + 5\right)^{7}}{7}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x + 5\right)^{7}}{7}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + 5\right)^{7}}{7}+ \mathrm{constant}$