Integral de 2*(cos(x))^3 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 2 \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$

   2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

            El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         El resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         El resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 2 \sin{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \sin{\left(x \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \sin{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \sin{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$