Integral de (9x+2)^4 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 9 x + 2$.

      Luego que $du = 9 dx$ y ponemos $\frac{du}{9}$:

      $\int \frac{u^{4}}{9}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{9}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{45}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(9 x + 2\right)^{5}}{45}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(9 x + 2\right)^{4} = 6561 x^{4} + 5832 x^{3} + 1944 x^{2} + 288 x + 16$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6561 x^{4}\, dx = 6561 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6561 x^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5832 x^{3}\, dx = 5832 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1458 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1944 x^{2}\, dx = 1944 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $648 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 288 x\, dx = 288 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $144 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 16\, dx = 16 x$

      El resultado es: $\frac{6561 x^{5}}{5} + 1458 x^{4} + 648 x^{3} + 144 x^{2} + 16 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(9 x + 2\right)^{5}}{45}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(9 x + 2\right)^{5}}{45}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(9 x + 2\right)^{5}}{45}+ \mathrm{constant}$