Integral de (x-cbrtx^2)/√x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(3 u^{\frac{7}{2}} - 3 u^{\frac{5}{2}}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{\frac{7}{2}}\, du = 3 \int u^{\frac{7}{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{7}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{9}{2}}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{\frac{9}{2}}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 u^{\frac{5}{2}}\right)\, du = - 3 \int u^{\frac{5}{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{5}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6 u^{\frac{7}{2}}}{7}$

         El resultado es: $\frac{2 u^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{6 u^{\frac{7}{2}}}{7}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{6 x^{\frac{7}{6}}}{7} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- \left(\sqrt[3]{x}\right)^{2} + x}{\sqrt{x}} = - \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{x}} + \frac{x}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{x}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{x}}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$:

            $\int \left(- \frac{2}{u^{\frac{10}{3}}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{10}{3}}}\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{\frac{10}{3}}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{\frac{10}{3}}}\, du = - \frac{3}{7 u^{\frac{7}{3}}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6}{7 u^{\frac{7}{3}}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{6 x^{\frac{7}{6}}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6 x^{\frac{7}{6}}}{7}$

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$:

         $\int \left(- \frac{2}{u^{4}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{3 u^{3}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      El resultado es: $- \frac{6 x^{\frac{7}{6}}}{7} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{6 x^{\frac{7}{6}}}{7} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{6 x^{\frac{7}{6}}}{7} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$