Integral de 3sqrt(5x-7)^2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 3 \left(\sqrt{5 x - 7}\right)^{2}\, dx = 3 \int \left(\sqrt{5 x - 7}\right)^{2}\, dx$

   1. que $u = \sqrt{5 x - 7}$.

      Luego que $du = \frac{5 dx}{2 \sqrt{5 x - 7}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u \left(\frac{u^{2}}{5} + \frac{7}{5}\right) - \frac{14 u}{5}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u \left(\frac{u^{2}}{5} + \frac{7}{5}\right)\, du = 2 \int u \left(\frac{u^{2}}{5} + \frac{7}{5}\right)\, du$

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

               Método #1

               1. que $u = u^{2}$.

                  Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $du$:

                  $\int \left(\frac{u}{10} + \frac{7}{10}\right)\, du$

                  1. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{u}{10}\, du = \frac{\int u\, du}{10}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{20}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{7}{10}\, du = \frac{7 u}{10}$

                     El resultado es: $\frac{u^{2}}{20} + \frac{7 u}{10}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{u^{4}}{20} + \frac{7 u^{2}}{10}$

               Método #2

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $u \left(\frac{u^{2}}{5} + \frac{7}{5}\right) = \frac{u^{3}}{5} + \frac{7 u}{5}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{u^{3}}{5}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{5}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{20}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{7 u}{5}\, du = \frac{7 \int u\, du}{5}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7 u^{2}}{10}$

                  El resultado es: $\frac{u^{4}}{20} + \frac{7 u^{2}}{10}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{10} + \frac{7 u^{2}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{14 u}{5}\right)\, du = - \frac{14 \int u\, du}{5}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{7 u^{2}}{5}$

         El resultado es: $\frac{u^{4}}{10}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(5 x - 7\right)^{2}}{10}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \left(5 x - 7\right)^{2}}{10}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 \left(5 x - 7\right)^{2}}{10}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \left(5 x - 7\right)^{2}}{10}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \left(5 x - 7\right)^{2}}{10}+ \mathrm{constant}$