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Resolución de integrales/ cos⁹x

Integral de cos⁹x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     9      
 |  cos (x) dx
 |            
/             
0
∫01cos⁡9(x) dx\int\limits_{0}^{1} \cos^{9}{\left(x \right)}\, dx 
Integral(cos(x)^9, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cos⁡9(x)=(1−sin⁡2(x))4cos⁡(x)\cos^{9}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{4} \cos{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(x))4cos⁡(x)=sin⁡8(x)cos⁡(x)−4sin⁡6(x)cos⁡(x)+6sin⁡4(x)cos⁡(x)−4sin⁡2(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{4} \cos{\left(x \right)} = \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u8 du\int u^{8}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u8 du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡9(x)9\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4sin⁡6(x)cos⁡(x)) dx=−4∫sin⁡6(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u6 du\int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡7(x)7\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: −4sin⁡7(x)7- \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6sin⁡4(x)cos⁡(x) dx=6∫sin⁡4(x)cos⁡(x) dx\int 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u4 du\int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: 6sin⁡5(x)5\frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4sin⁡2(x)cos⁡(x)) dx=−4∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u2 du\int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −4sin⁡3(x)3- \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      El resultado es: sin⁡9(x)9−4sin⁡7(x)7+6sin⁡5(x)5−4sin⁡3(x)3+sin⁡(x)\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(x))4cos⁡(x)=sin⁡8(x)cos⁡(x)−4sin⁡6(x)cos⁡(x)+6sin⁡4(x)cos⁡(x)−4sin⁡2(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{4} \cos{\left(x \right)} = \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫u8 du\int u^{8}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u8 du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡9(x)9\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4sin⁡6(x)cos⁡(x)) dx=−4∫sin⁡6(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u6 du\int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡7(x)7\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: −4sin⁡7(x)7- \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6sin⁡4(x)cos⁡(x) dx=6∫sin⁡4(x)cos⁡(x) dx\int 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u4 du\int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: 6sin⁡5(x)5\frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4sin⁡2(x)cos⁡(x)) dx=−4∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u2 du\int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −4sin⁡3(x)3- \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      El resultado es: sin⁡9(x)9−4sin⁡7(x)7+6sin⁡5(x)5−4sin⁡3(x)3+sin⁡(x)\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

  3. Ahora simplificar:

    (35sin⁡8(x)−180sin⁡6(x)+378sin⁡4(x)−420sin⁡2(x)+315)sin⁡(x)315\frac{\left(35 \sin^{8}{\left(x \right)} - 180 \sin^{6}{\left(x \right)} + 378 \sin^{4}{\left(x \right)} - 420 \sin^{2}{\left(x \right)} + 315\right) \sin{\left(x \right)}}{315}

  4. Añadimos la constante de integración:

    (35sin⁡8(x)−180sin⁡6(x)+378sin⁡4(x)−420sin⁡2(x)+315)sin⁡(x)315+constant\frac{\left(35 \sin^{8}{\left(x \right)} - 180 \sin^{6}{\left(x \right)} + 378 \sin^{4}{\left(x \right)} - 420 \sin^{2}{\left(x \right)} + 315\right) \sin{\left(x \right)}}{315}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(35sin⁡8(x)−180sin⁡6(x)+378sin⁡4(x)−420sin⁡2(x)+315)sin⁡(x)315+constant\frac{\left(35 \sin^{8}{\left(x \right)} - 180 \sin^{6}{\left(x \right)} + 378 \sin^{4}{\left(x \right)} - 420 \sin^{2}{\left(x \right)} + 315\right) \sin{\left(x \right)}}{315}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                     
 |                       3           7         9           5            
 |    9             4*sin (x)   4*sin (x)   sin (x)   6*sin (x)         
 | cos (x) dx = C - --------- - --------- + ------- + --------- + sin(x)
 |                      3           7          9          5             
/
∫cos⁡9(x) dx=C+sin⁡9(x)9−4sin⁡7(x)7+6sin⁡5(x)5−4sin⁡3(x)3+sin⁡(x)\int \cos^{9}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
       3           7         9           5            
  4*sin (1)   4*sin (1)   sin (1)   6*sin (1)         
- --------- - --------- + ------- + --------- + sin(1)
      3           7          9          5
−4sin⁡3(1)3−4sin⁡7(1)7+sin⁡9(1)9+6sin⁡5(1)5+sin⁡(1)- \frac{4 \sin^{3}{\left(1 \right)}}{3} - \frac{4 \sin^{7}{\left(1 \right)}}{7} + \frac{\sin^{9}{\left(1 \right)}}{9} + \frac{6 \sin^{5}{\left(1 \right)}}{5} + \sin{\left(1 \right)} 
=
= 
       3           7         9           5            
  4*sin (1)   4*sin (1)   sin (1)   6*sin (1)         
- --------- - --------- + ------- + --------- + sin(1)
      3           7          9          5
−4sin⁡3(1)3−4sin⁡7(1)7+sin⁡9(1)9+6sin⁡5(1)5+sin⁡(1)- \frac{4 \sin^{3}{\left(1 \right)}}{3} - \frac{4 \sin^{7}{\left(1 \right)}}{7} + \frac{\sin^{9}{\left(1 \right)}}{9} + \frac{6 \sin^{5}{\left(1 \right)}}{5} + \sin{\left(1 \right)} 
-4*sin(1)^3/3 - 4*sin(1)^7/7 + sin(1)^9/9 + 6*sin(1)^5/5 + sin(1)
Respuesta numérica [src] 
0.406105224735144
0.406105224735144

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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