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Resolución de integrales/ (-xcosx)+(sin2x/2)+(xcos2x/2)+(sin2x/4)

Integral de (-xcosx)+(sin2x/2)+(xcos2x/2)+(sin2x/4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                                                  
 --                                                  
 6                                                   
  /                                                  
 |                                                   
 |  /            sin(2*x)   x*cos(2*x)   sin(2*x)\   
 |  |-x*cos(x) + -------- + ---------- + --------| dx
 |  \               2           2           4    /   
 |                                                   
/                                                    
0
∫0π6((xcos⁡(2x)2+(−xcos⁡(x)+sin⁡(2x)2))+sin⁡(2x)4) dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \left(\left(\frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \left(- x \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right)\right) + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx 
Integral((-x)*cos(x) + sin(2*x)/2 + (x*cos(2*x))/2 + sin(2*x)/4, (x, 0, pi/6))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xcos⁡(2x)2 dx=∫xcos⁡(2x) dx2\int \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int x \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(2x)2 dx=∫sin⁡(2x) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

            Método #2

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫2sin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

              1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                Método #1

                1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

                  Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

                  ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                    1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                      ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                    Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

                Método #2

                1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

                  Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

                  ∫u du\int u\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡2(x)2\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x)4- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: xsin⁡(2x)4+cos⁡(2x)8\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}

      1. Integramos término a término:

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=−xu{\left(x \right)} = - x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=−1\operatorname{du}{\left(x \right)} = -1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡(x)) dx=−∫sin⁡(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(x)\cos{\left(x \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(2x)2 dx=∫sin⁡(2x) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x)4- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

        El resultado es: −xsin⁡(x)−cos⁡(x)−cos⁡(2x)4- x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

      El resultado es: −xsin⁡(x)+xsin⁡(2x)4−cos⁡(x)−cos⁡(2x)8- x \sin{\left(x \right)} + \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫sin⁡(2x)4 dx=∫sin⁡(2x) dx4\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x)8- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}

    El resultado es: −xsin⁡(x)+xsin⁡(2x)4−cos⁡(x)−cos⁡(2x)4- x \sin{\left(x \right)} + \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −xsin⁡(x)+xsin⁡(2x)4−cos⁡(x)−cos⁡(2x)4+constant- x \sin{\left(x \right)} + \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−xsin⁡(x)+xsin⁡(2x)4−cos⁡(x)−cos⁡(2x)4+constant- x \sin{\left(x \right)} + \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                 
 |                                                                                                  
 | /            sin(2*x)   x*cos(2*x)   sin(2*x)\                   cos(2*x)              x*sin(2*x)
 | |-x*cos(x) + -------- + ---------- + --------| dx = C - cos(x) - -------- - x*sin(x) + ----------
 | \               2           2           4    /                      4                      4     
 |                                                                                                  
/
∫((xcos⁡(2x)2+(−xcos⁡(x)+sin⁡(2x)2))+sin⁡(2x)4) dx=C−xsin⁡(x)+xsin⁡(2x)4−cos⁡(x)−cos⁡(2x)4\int \left(\left(\frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \left(- x \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right)\right) + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = C - x \sin{\left(x \right)} + \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.502-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
      ___             ___
9   \/ 3    pi   pi*\/ 3 
- - ----- - -- + --------
8     2     12      48
−32−π12+3π48+98- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3} \pi}{48} + \frac{9}{8} 
=
= 
      ___             ___
9   \/ 3    pi   pi*\/ 3 
- - ----- - -- + --------
8     2     12      48
−32−π12+3π48+98- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3} \pi}{48} + \frac{9}{8} 
9/8 - sqrt(3)/2 - pi/12 + pi*sqrt(3)/48
Respuesta numérica [src] 
0.110537668681051
0.110537668681051

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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