Integral de 3*x^3*e^(x^2) dx

1. que $u = x^{2}$.

   Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{3 du}{2}$:

   $\int \frac{3 u e^{u}}{2}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int u e^{u}\, du = \frac{3 \int u e^{u}\, du}{2}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u e^{u}}{2} - \frac{3 e^{u}}{2}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{3 x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{3 e^{x^{2}}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 \left(x^{2} - 1\right) e^{x^{2}}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \left(x^{2} - 1\right) e^{x^{2}}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \left(x^{2} - 1\right) e^{x^{2}}}{2}+ \mathrm{constant}$