Integral de 1/(4x+12)^1/3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{4 x + 12}$.

      Luego que $du = \frac{4 dx}{3 \left(4 x + 12\right)^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $\frac{3 du}{4}$:

      $\int \frac{3 u}{4}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = \frac{3 \int u\, du}{4}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{2}}{8}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 \left(4 x + 12\right)^{\frac{2}{3}}}{8}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\sqrt[3]{4 x + 12}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2 \sqrt[3]{x + 3}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sqrt[3]{2}}{2 \sqrt[3]{x + 3}}\, dx = \frac{\sqrt[3]{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{x + 3}}\, dx}{2}$

      1. que $u = x + 3$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = \frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3 \left(x + 3\right)^{\frac{2}{3}}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sqrt[3]{2} \left(x + 3\right)^{\frac{2}{3}}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 \sqrt[3]{2} \left(x + 3\right)^{\frac{2}{3}}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \sqrt[3]{2} \left(x + 3\right)^{\frac{2}{3}}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \sqrt[3]{2} \left(x + 3\right)^{\frac{2}{3}}}{4}+ \mathrm{constant}$