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Resolución de integrales/ (2*x^2+x+3)/(x+2)*(x^2+x+1)

Integral de (2*x^2+x+3)/(x+2)*(x^2+x+1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                             
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 |     2                        
 |  2*x  + x + 3 / 2        \   
 |  ------------*\x  + x + 1/ dx
 |     x + 2                    
 |                              
/                               
0
∫01(2x2+x)+3x+2((x2+x)+1) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(2 x^{2} + x\right) + 3}{x + 2} \left(\left(x^{2} + x\right) + 1\right)\, dx 
Integral(((2*x^2 + x + 3)/(x + 2))*(x^2 + x + 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x2+x)+3x+2((x2+x)+1)=2x3−x2+8x−12+27x+2\frac{\left(2 x^{2} + x\right) + 3}{x + 2} \left(\left(x^{2} + x\right) + 1\right) = 2 x^{3} - x^{2} + 8 x - 12 + \frac{27}{x + 2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x3 dx=2∫x3 dx\int 2 x^{3}\, dx = 2 \int x^{3}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x42\frac{x^{4}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x2) dx=−∫x2 dx\int \left(- x^{2}\right)\, dx = - \int x^{2}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −x33- \frac{x^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8x dx=8∫x dx\int 8 x\, dx = 8 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 4x24 x^{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−12) dx=−12x\int \left(-12\right)\, dx = - 12 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫27x+2 dx=27∫1x+2 dx\int \frac{27}{x + 2}\, dx = 27 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

        1. que u=x+2u = x + 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 27log⁡(x+2)27 \log{\left(x + 2 \right)}

      El resultado es: x42−x33+4x2−12x+27log⁡(x+2)\frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 12 x + 27 \log{\left(x + 2 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x2+x)+3x+2((x2+x)+1)=2x4+3x3+6x2+4x+3x+2\frac{\left(2 x^{2} + x\right) + 3}{x + 2} \left(\left(x^{2} + x\right) + 1\right) = \frac{2 x^{4} + 3 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 3}{x + 2}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      2x4+3x3+6x2+4x+3x+2=2x3−x2+8x−12+27x+2\frac{2 x^{4} + 3 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 3}{x + 2} = 2 x^{3} - x^{2} + 8 x - 12 + \frac{27}{x + 2}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x3 dx=2∫x3 dx\int 2 x^{3}\, dx = 2 \int x^{3}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x42\frac{x^{4}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x2) dx=−∫x2 dx\int \left(- x^{2}\right)\, dx = - \int x^{2}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −x33- \frac{x^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8x dx=8∫x dx\int 8 x\, dx = 8 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 4x24 x^{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−12) dx=−12x\int \left(-12\right)\, dx = - 12 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫27x+2 dx=27∫1x+2 dx\int \frac{27}{x + 2}\, dx = 27 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

        1. que u=x+2u = x + 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 27log⁡(x+2)27 \log{\left(x + 2 \right)}

      El resultado es: x42−x33+4x2−12x+27log⁡(x+2)\frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 12 x + 27 \log{\left(x + 2 \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x2+x)+3x+2((x2+x)+1)=2x4x+2+3x3x+2+6x2x+2+4xx+2+3x+2\frac{\left(2 x^{2} + x\right) + 3}{x + 2} \left(\left(x^{2} + x\right) + 1\right) = \frac{2 x^{4}}{x + 2} + \frac{3 x^{3}}{x + 2} + \frac{6 x^{2}}{x + 2} + \frac{4 x}{x + 2} + \frac{3}{x + 2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x4x+2 dx=2∫x4x+2 dx\int \frac{2 x^{4}}{x + 2}\, dx = 2 \int \frac{x^{4}}{x + 2}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x4x+2=x3−2x2+4x−8+16x+2\frac{x^{4}}{x + 2} = x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + \frac{16}{x + 2}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2x2) dx=−2∫x2 dx\int \left(- 2 x^{2}\right)\, dx = - 2 \int x^{2}\, dx

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −2x33- \frac{2 x^{3}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫4x dx=4∫x dx\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: 2x22 x^{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−8) dx=−8x\int \left(-8\right)\, dx = - 8 x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫16x+2 dx=16∫1x+2 dx\int \frac{16}{x + 2}\, dx = 16 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

            1. que u=x+2u = x + 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 16log⁡(x+2)16 \log{\left(x + 2 \right)}

          El resultado es: x44−2x33+2x2−8x+16log⁡(x+2)\frac{x^{4}}{4} - \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 8 x + 16 \log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: x42−4x33+4x2−16x+32log⁡(x+2)\frac{x^{4}}{2} - \frac{4 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 16 x + 32 \log{\left(x + 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x3x+2 dx=3∫x3x+2 dx\int \frac{3 x^{3}}{x + 2}\, dx = 3 \int \frac{x^{3}}{x + 2}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x3x+2=x2−2x+4−8x+2\frac{x^{3}}{x + 2} = x^{2} - 2 x + 4 - \frac{8}{x + 2}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2x) dx=−2∫x dx\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −x2- x^{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫4 dx=4x\int 4\, dx = 4 x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−8x+2) dx=−8∫1x+2 dx\int \left(- \frac{8}{x + 2}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

            1. que u=x+2u = x + 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −8log⁡(x+2)- 8 \log{\left(x + 2 \right)}

          El resultado es: x33−x2+4x−8log⁡(x+2)\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 4 x - 8 \log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: x3−3x2+12x−24log⁡(x+2)x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 24 \log{\left(x + 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6x2x+2 dx=6∫x2x+2 dx\int \frac{6 x^{2}}{x + 2}\, dx = 6 \int \frac{x^{2}}{x + 2}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x2x+2=x−2+4x+2\frac{x^{2}}{x + 2} = x - 2 + \frac{4}{x + 2}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−2) dx=−2x\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫4x+2 dx=4∫1x+2 dx\int \frac{4}{x + 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

            1. que u=x+2u = x + 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 4log⁡(x+2)4 \log{\left(x + 2 \right)}

          El resultado es: x22−2x+4log⁡(x+2)\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x2−12x+24log⁡(x+2)3 x^{2} - 12 x + 24 \log{\left(x + 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xx+2 dx=4∫xx+2 dx\int \frac{4 x}{x + 2}\, dx = 4 \int \frac{x}{x + 2}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          xx+2=1−2x+2\frac{x}{x + 2} = 1 - \frac{2}{x + 2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2x+2) dx=−2∫1x+2 dx\int \left(- \frac{2}{x + 2}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

            1. que u=x+2u = x + 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −2log⁡(x+2)- 2 \log{\left(x + 2 \right)}

          El resultado es: x−2log⁡(x+2)x - 2 \log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 4x−8log⁡(x+2)4 x - 8 \log{\left(x + 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x+2 dx=3∫1x+2 dx\int \frac{3}{x + 2}\, dx = 3 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

        1. que u=x+2u = x + 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 3log⁡(x+2)3 \log{\left(x + 2 \right)}

      El resultado es: x42−x33+4x2−12x+24log⁡(x+2)+3log⁡(x+2)\frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 12 x + 24 \log{\left(x + 2 \right)} + 3 \log{\left(x + 2 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x42−x33+4x2−12x+27log⁡(x+2)+constant\frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 12 x + 27 \log{\left(x + 2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x42−x33+4x2−12x+27log⁡(x+2)+constant\frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 12 x + 27 \log{\left(x + 2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                        
 |                                                                         
 |    2                                4                                  3
 | 2*x  + x + 3 / 2        \          x              2                   x 
 | ------------*\x  + x + 1/ dx = C + -- - 12*x + 4*x  + 27*log(2 + x) - --
 |    x + 2                           2                                  3 
 |                                                                         
/
∫(2x2+x)+3x+2((x2+x)+1) dx=C+x42−x33+4x2−12x+27log⁡(x+2)\int \frac{\left(2 x^{2} + x\right) + 3}{x + 2} \left(\left(x^{2} + x\right) + 1\right)\, dx = C + \frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + 4 x^{2} - 12 x + 27 \log{\left(x + 2 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90040
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-47/6 - 27*log(2) + 27*log(3)
−27log⁡(2)−476+27log⁡(3)- 27 \log{\left(2 \right)} - \frac{47}{6} + 27 \log{\left(3 \right)} 
=
= 
-47/6 - 27*log(2) + 27*log(3)
−27log⁡(2)−476+27log⁡(3)- 27 \log{\left(2 \right)} - \frac{47}{6} + 27 \log{\left(3 \right)} 
-47/6 - 27*log(2) + 27*log(3)
Respuesta numérica [src] 
3.11422458558711
3.11422458558711

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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