Integral de (2x+6)^10 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x + 6$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{10}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{10}\, du = \frac{\int u^{10}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{11}}{22}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(2 x + 6\right)^{11}}{22}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x + 6\right)^{10} = 1024 x^{10} + 30720 x^{9} + 414720 x^{8} + 3317760 x^{7} + 17418240 x^{6} + 62705664 x^{5} + 156764160 x^{4} + 268738560 x^{3} + 302330880 x^{2} + 201553920 x + 60466176$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1024 x^{10}\, dx = 1024 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1024 x^{11}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 30720 x^{9}\, dx = 30720 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3072 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 414720 x^{8}\, dx = 414720 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $46080 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3317760 x^{7}\, dx = 3317760 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $414720 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 17418240 x^{6}\, dx = 17418240 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2488320 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 62705664 x^{5}\, dx = 62705664 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $10450944 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 156764160 x^{4}\, dx = 156764160 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $31352832 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 268738560 x^{3}\, dx = 268738560 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $67184640 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 302330880 x^{2}\, dx = 302330880 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $100776960 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 201553920 x\, dx = 201553920 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $100776960 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 60466176\, dx = 60466176 x$

      El resultado es: $\frac{1024 x^{11}}{11} + 3072 x^{10} + 46080 x^{9} + 414720 x^{8} + 2488320 x^{7} + 10450944 x^{6} + 31352832 x^{5} + 67184640 x^{4} + 100776960 x^{3} + 100776960 x^{2} + 60466176 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{1024 \left(x + 3\right)^{11}}{11}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{1024 \left(x + 3\right)^{11}}{11}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{1024 \left(x + 3\right)^{11}}{11}+ \mathrm{constant}$