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Resolución de integrales/ Cos(x/2)/ (6+x)/ (6+x)*Cos(x/2)

Integral de (6+x)*Cos(x/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
  /                  
 |                   
 |             /x\   
 |  (6 + x)*cos|-| dx
 |             \2/   
 |                   
/                    
0
∫01(x+6)cos⁡(x2) dx\int\limits_{0}^{1} \left(x + 6\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx 
Integral((6 + x)*cos(x/2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+6)cos⁡(x2)=xcos⁡(x2)+6cos⁡(x2)\left(x + 6\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 6 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(x2) dx=2∫sin⁡(x2) dx\int 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(x2)- 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6cos⁡(x2) dx=6∫cos⁡(x2) dx\int 6 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 6 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 12sin⁡(x2)12 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      El resultado es: 2xsin⁡(x2)+12sin⁡(x2)+4cos⁡(x2)2 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 12 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x+6u{\left(x \right)} = x + 6 y que dv⁡(x)=cos⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2sin⁡(x2) dx=2∫sin⁡(x2) dx\int 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(x2)- 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+6)cos⁡(x2)=xcos⁡(x2)+6cos⁡(x2)\left(x + 6\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 6 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(x2) dx=2∫sin⁡(x2) dx\int 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2sin⁡(u) du\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=2∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u)- 2 \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −2cos⁡(x2)- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(x2)- 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6cos⁡(x2) dx=6∫cos⁡(x2) dx\int 6 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 6 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 12sin⁡(x2)12 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      El resultado es: 2xsin⁡(x2)+12sin⁡(x2)+4cos⁡(x2)2 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 12 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    2xsin⁡(x2)+12sin⁡(x2)+4cos⁡(x2)+constant2 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 12 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2xsin⁡(x2)+12sin⁡(x2)+4cos⁡(x2)+constant2 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 12 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                         
 |                                                          
 |            /x\               /x\         /x\          /x\
 | (6 + x)*cos|-| dx = C + 4*cos|-| + 12*sin|-| + 2*x*sin|-|
 |            \2/               \2/         \2/          \2/
 |                                                          
/
∫(x+6)cos⁡(x2) dx=C+2xsin⁡(x2)+12sin⁡(x2)+4cos⁡(x2)\int \left(x + 6\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = C + 2 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 12 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90015
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-4 + 4*cos(1/2) + 14*sin(1/2)
−4+4cos⁡(12)+14sin⁡(12)-4 + 4 \cos{\left(\frac{1}{2} \right)} + 14 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} 
=
= 
-4 + 4*cos(1/2) + 14*sin(1/2)
−4+4cos⁡(12)+14sin⁡(12)-4 + 4 \cos{\left(\frac{1}{2} \right)} + 14 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} 
-4 + 4*cos(1/2) + 14*sin(1/2)
Respuesta numérica [src] 
6.22228778802033
6.22228778802033

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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