Integral de (6-2x)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 6 - 2 x$.

      Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2}\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(6 - 2 x\right)^{3}}{6}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(6 - 2 x\right)^{2} = 4 x^{2} - 24 x + 36$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x^{2}\, dx = 4 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 24 x\right)\, dx = - 24 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 12 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 36\, dx = 36 x$

      El resultado es: $\frac{4 x^{3}}{3} - 12 x^{2} + 36 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{4 \left(x - 3\right)^{3}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 \left(x - 3\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 \left(x - 3\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$