Integral de y^3*(1-y^2)^2/2 dy

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{y^{3} \left(1 - y^{2}\right)^{2}}{2}\, dy = \frac{\int y^{3} \left(1 - y^{2}\right)^{2}\, dy}{2}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = y^{2}$.

         Luego que $du = 2 y dy$ y ponemos $du$:

         $\int \left(\frac{u^{3}}{2} - u^{2} + \frac{u}{2}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u^{3}}{2}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{8}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u}{2}\, du = \frac{\int u\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4}$

            El resultado es: $\frac{u^{4}}{8} - \frac{u^{3}}{3} + \frac{u^{2}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{y^{8}}{8} - \frac{y^{6}}{3} + \frac{y^{4}}{4}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $y^{3} \left(1 - y^{2}\right)^{2} = y^{7} - 2 y^{5} + y^{3}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y^{7}\, dy = \frac{y^{8}}{8}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 y^{5}\right)\, dy = - 2 \int y^{5}\, dy$

            1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int y^{5}\, dy = \frac{y^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{y^{6}}{3}$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y^{3}\, dy = \frac{y^{4}}{4}$

         El resultado es: $\frac{y^{8}}{8} - \frac{y^{6}}{3} + \frac{y^{4}}{4}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{y^{8}}{16} - \frac{y^{6}}{6} + \frac{y^{4}}{8}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{y^{8}}{16} - \frac{y^{6}}{6} + \frac{y^{4}}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{y^{8}}{16} - \frac{y^{6}}{6} + \frac{y^{4}}{8}+ \mathrm{constant}$