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Resolución de integrales/ (3x^3+2x^2+1)/((x+2)*(x-2)*(x-1))

Integral de (3x^3+2x^2+1)/((x+2)*(x-2)*(x-1)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                           
  /                           
 |                            
 |         3      2           
 |      3*x  + 2*x  + 1       
 |  ----------------------- dx
 |  (x + 2)*(x - 2)*(x - 1)   
 |                            
/                             
0
∫01(3x3+2x2)+1(x−2)(x+2)(x−1) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(3 x^{3} + 2 x^{2}\right) + 1}{\left(x - 2\right) \left(x + 2\right) \left(x - 1\right)}\, dx 
Integral((3*x^3 + 2*x^2 + 1)/((((x + 2)*(x - 2))*(x - 1))), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x3+2x2)+1(x−2)(x+2)(x−1)=3−54(x+2)−2x−1+334(x−2)\frac{\left(3 x^{3} + 2 x^{2}\right) + 1}{\left(x - 2\right) \left(x + 2\right) \left(x - 1\right)} = 3 - \frac{5}{4 \left(x + 2\right)} - \frac{2}{x - 1} + \frac{33}{4 \left(x - 2\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫3 dx=3x\int 3\, dx = 3 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−54(x+2)) dx=−5∫1x+2 dx4\int \left(- \frac{5}{4 \left(x + 2\right)}\right)\, dx = - \frac{5 \int \frac{1}{x + 2}\, dx}{4}

        1. que u=x+2u = x + 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −5log⁡(x+2)4- \frac{5 \log{\left(x + 2 \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2x−1) dx=−2∫1x−1 dx\int \left(- \frac{2}{x - 1}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x - 1}\, dx

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2log⁡(x−1)- 2 \log{\left(x - 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫334(x−2) dx=33∫1x−2 dx4\int \frac{33}{4 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{33 \int \frac{1}{x - 2}\, dx}{4}

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 33log⁡(x−2)4\frac{33 \log{\left(x - 2 \right)}}{4}

      El resultado es: 3x+33log⁡(x−2)4−2log⁡(x−1)−5log⁡(x+2)43 x + \frac{33 \log{\left(x - 2 \right)}}{4} - 2 \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{5 \log{\left(x + 2 \right)}}{4}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x3+2x2)+1(x−2)(x+2)(x−1)=3x3+2x2+1x3−x2−4x+4\frac{\left(3 x^{3} + 2 x^{2}\right) + 1}{\left(x - 2\right) \left(x + 2\right) \left(x - 1\right)} = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 1}{x^{3} - x^{2} - 4 x + 4}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      3x3+2x2+1x3−x2−4x+4=3−54(x+2)−2x−1+334(x−2)\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 1}{x^{3} - x^{2} - 4 x + 4} = 3 - \frac{5}{4 \left(x + 2\right)} - \frac{2}{x - 1} + \frac{33}{4 \left(x - 2\right)}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫3 dx=3x\int 3\, dx = 3 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−54(x+2)) dx=−5∫1x+2 dx4\int \left(- \frac{5}{4 \left(x + 2\right)}\right)\, dx = - \frac{5 \int \frac{1}{x + 2}\, dx}{4}

        1. que u=x+2u = x + 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −5log⁡(x+2)4- \frac{5 \log{\left(x + 2 \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2x−1) dx=−2∫1x−1 dx\int \left(- \frac{2}{x - 1}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x - 1}\, dx

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2log⁡(x−1)- 2 \log{\left(x - 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫334(x−2) dx=33∫1x−2 dx4\int \frac{33}{4 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{33 \int \frac{1}{x - 2}\, dx}{4}

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 33log⁡(x−2)4\frac{33 \log{\left(x - 2 \right)}}{4}

      El resultado es: 3x+33log⁡(x−2)4−2log⁡(x−1)−5log⁡(x+2)43 x + \frac{33 \log{\left(x - 2 \right)}}{4} - 2 \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{5 \log{\left(x + 2 \right)}}{4}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x3+2x2)+1(x−2)(x+2)(x−1)=3x3x3−x2−4x+4+2x2x3−x2−4x+4+1x3−x2−4x+4\frac{\left(3 x^{3} + 2 x^{2}\right) + 1}{\left(x - 2\right) \left(x + 2\right) \left(x - 1\right)} = \frac{3 x^{3}}{x^{3} - x^{2} - 4 x + 4} + \frac{2 x^{2}}{x^{3} - x^{2} - 4 x + 4} + \frac{1}{x^{3} - x^{2} - 4 x + 4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x3x3−x2−4x+4 dx=3∫x3x3−x2−4x+4 dx\int \frac{3 x^{3}}{x^{3} - x^{2} - 4 x + 4}\, dx = 3 \int \frac{x^{3}}{x^{3} - x^{2} - 4 x + 4}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x3x3−x2−4x+4=1−23(x+2)−13(x−1)+2x−2\frac{x^{3}}{x^{3} - x^{2} - 4 x + 4} = 1 - \frac{2}{3 \left(x + 2\right)} - \frac{1}{3 \left(x - 1\right)} + \frac{2}{x - 2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−23(x+2)) dx=−2∫1x+2 dx3\int \left(- \frac{2}{3 \left(x + 2\right)}\right)\, dx = - \frac{2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx}{3}

            1. que u=x+2u = x + 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −2log⁡(x+2)3- \frac{2 \log{\left(x + 2 \right)}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−13(x−1)) dx=−∫1x−1 dx3\int \left(- \frac{1}{3 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{3}

            1. que u=x−1u = x - 1.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−1)3- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2x−2 dx=2∫1x−2 dx\int \frac{2}{x - 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

            1. que u=x−2u = x - 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(x−2)2 \log{\left(x - 2 \right)}

          El resultado es: x+2log⁡(x−2)−log⁡(x−1)3−2log⁡(x+2)3x + 2 \log{\left(x - 2 \right)} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3} - \frac{2 \log{\left(x + 2 \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x+6log⁡(x−2)−log⁡(x−1)−2log⁡(x+2)3 x + 6 \log{\left(x - 2 \right)} - \log{\left(x - 1 \right)} - 2 \log{\left(x + 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x2x3−x2−4x+4 dx=2∫x2x3−x2−4x+4 dx\int \frac{2 x^{2}}{x^{3} - x^{2} - 4 x + 4}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x^{3} - x^{2} - 4 x + 4}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x2x3−x2−4x+4=13(x+2)−13(x−1)+1x−2\frac{x^{2}}{x^{3} - x^{2} - 4 x + 4} = \frac{1}{3 \left(x + 2\right)} - \frac{1}{3 \left(x - 1\right)} + \frac{1}{x - 2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫13(x+2) dx=∫1x+2 dx3\int \frac{1}{3 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 2}\, dx}{3}

            1. que u=x+2u = x + 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+2)3\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−13(x−1)) dx=−∫1x−1 dx3\int \left(- \frac{1}{3 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{3}

            1. que u=x−1u = x - 1.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−1)3- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3}

          1. que u=x−2u = x - 2.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

          El resultado es: log⁡(x−2)−log⁡(x−1)3+log⁡(x+2)3\log{\left(x - 2 \right)} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(x−2)−2log⁡(x−1)3+2log⁡(x+2)32 \log{\left(x - 2 \right)} - \frac{2 \log{\left(x - 1 \right)}}{3} + \frac{2 \log{\left(x + 2 \right)}}{3}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        1x3−x2−4x+4=112(x+2)−13(x−1)+14(x−2)\frac{1}{x^{3} - x^{2} - 4 x + 4} = \frac{1}{12 \left(x + 2\right)} - \frac{1}{3 \left(x - 1\right)} + \frac{1}{4 \left(x - 2\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫112(x+2) dx=∫1x+2 dx12\int \frac{1}{12 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 2}\, dx}{12}

          1. que u=x+2u = x + 2.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+2)12\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{12}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−13(x−1)) dx=−∫1x−1 dx3\int \left(- \frac{1}{3 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{3}

          1. que u=x−1u = x - 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−1)3- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫14(x−2) dx=∫1x−2 dx4\int \frac{1}{4 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{4}

          1. que u=x−2u = x - 2.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−2)4\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{4}

        El resultado es: log⁡(x−2)4−log⁡(x−1)3+log⁡(x+2)12\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{12}

      El resultado es: 3x+33log⁡(x−2)4−2log⁡(x−1)−5log⁡(x+2)43 x + \frac{33 \log{\left(x - 2 \right)}}{4} - 2 \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{5 \log{\left(x + 2 \right)}}{4}

  2. Añadimos la constante de integración:

    3x+33log⁡(x−2)4−2log⁡(x−1)−5log⁡(x+2)4+constant3 x + \frac{33 \log{\left(x - 2 \right)}}{4} - 2 \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{5 \log{\left(x + 2 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x+33log⁡(x−2)4−2log⁡(x−1)−5log⁡(x+2)4+constant3 x + \frac{33 \log{\left(x - 2 \right)}}{4} - 2 \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{5 \log{\left(x + 2 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                    
 |                                                                                     
 |        3      2                                                                     
 |     3*x  + 2*x  + 1                                    5*log(2 + x)   33*log(-2 + x)
 | ----------------------- dx = C - 2*log(-1 + x) + 3*x - ------------ + --------------
 | (x + 2)*(x - 2)*(x - 1)                                     4               4       
 |                                                                                     
/
∫(3x3+2x2)+1(x−2)(x+2)(x−1) dx=C+3x+33log⁡(x−2)4−2log⁡(x−1)−5log⁡(x+2)4\int \frac{\left(3 x^{3} + 2 x^{2}\right) + 1}{\left(x - 2\right) \left(x + 2\right) \left(x - 1\right)}\, dx = C + 3 x + \frac{33 \log{\left(x - 2 \right)}}{4} - 2 \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{5 \log{\left(x + 2 \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90020000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     25*pi*I
oo - -------
        4
∞−25iπ4\infty - \frac{25 i \pi}{4} 
=
= 
     25*pi*I
oo - -------
        4
∞−25iπ4\infty - \frac{25 i \pi}{4} 
oo - 25*pi*i/4
Respuesta numérica [src] 
84.9566179476842
84.9566179476842

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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