Integral de ((e-1/2)+(e+2/3)x+(2*e-1/12)x^2)*((e-1/2)+(e+2/3)x+(2*e-1/12)x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x^{2} \left(- \frac{1}{12} + 2 e\right) + \left(x \left(\frac{2}{3} + e\right) + \left(- \frac{1}{2} + e\right)\right)\right) \left(x^{2} \left(- \frac{1}{12} + 2 e\right) + \left(x \left(\frac{2}{3} + e\right) + \left(- \frac{1}{2} + e\right)\right)\right) = x^{4} \left(- \frac{e}{3} + \frac{1}{144} + 4 e^{2}\right) + x^{3} \left(- \frac{1}{9} + \frac{5 e}{2} + 4 e^{2}\right) + x^{2} \left(- \frac{5 e}{6} + \frac{19}{36} + 5 e^{2}\right) + x \left(- \frac{2}{3} + \frac{e}{3} + 2 e^{2}\right) - e + \frac{1}{4} + e^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int x^{4} \left(- \frac{e}{3} + \frac{1}{144} + 4 e^{2}\right)\, dx = \left(- \frac{e}{3} + \frac{1}{144} + 4 e^{2}\right) \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{5} \left(- \frac{e}{3} + \frac{1}{144} + 4 e^{2}\right)}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int x^{3} \left(- \frac{1}{9} + \frac{5 e}{2} + 4 e^{2}\right)\, dx = \left(- \frac{1}{9} + \frac{5 e}{2} + 4 e^{2}\right) \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4} \left(- \frac{1}{9} + \frac{5 e}{2} + 4 e^{2}\right)}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int x^{2} \left(- \frac{5 e}{6} + \frac{19}{36} + 5 e^{2}\right)\, dx = \left(- \frac{5 e}{6} + \frac{19}{36} + 5 e^{2}\right) \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{3} \left(- \frac{5 e}{6} + \frac{19}{36} + 5 e^{2}\right)}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int x \left(- \frac{2}{3} + \frac{e}{3} + 2 e^{2}\right)\, dx = \left(- \frac{2}{3} + \frac{e}{3} + 2 e^{2}\right) \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2} \left(- \frac{2}{3} + \frac{e}{3} + 2 e^{2}\right)}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(- e\right)\, dx = - e x$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int e^{2}\, dx = x e^{2}$

      El resultado es: $\frac{x^{5} \left(- \frac{e}{3} + \frac{1}{144} + 4 e^{2}\right)}{5} + \frac{x^{4} \left(- \frac{1}{9} + \frac{5 e}{2} + 4 e^{2}\right)}{4} + \frac{x^{3} \left(- \frac{5 e}{6} + \frac{19}{36} + 5 e^{2}\right)}{3} + \frac{x^{2} \left(- \frac{2}{3} + \frac{e}{3} + 2 e^{2}\right)}{2} - e x + \frac{x}{4} + x e^{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x^{2} \left(- \frac{1}{12} + 2 e\right) + \left(x \left(\frac{2}{3} + e\right) + \left(- \frac{1}{2} + e\right)\right)\right) \left(x^{2} \left(- \frac{1}{12} + 2 e\right) + \left(x \left(\frac{2}{3} + e\right) + \left(- \frac{1}{2} + e\right)\right)\right) = - \frac{e x^{4}}{3} + \frac{x^{4}}{144} + 4 x^{4} e^{2} - \frac{x^{3}}{9} + \frac{5 e x^{3}}{2} + 4 x^{3} e^{2} - \frac{5 e x^{2}}{6} + \frac{19 x^{2}}{36} + 5 x^{2} e^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{e x}{3} + 2 x e^{2} - e + \frac{1}{4} + e^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{e x^{4}}{3}\right)\, dx = - \frac{e \int x^{4}\, dx}{3}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e x^{5}}{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{4}}{144}\, dx = \frac{\int x^{4}\, dx}{144}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{5}}{720}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x^{4} e^{2}\, dx = 4 e^{2} \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{5} e^{2}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{3}}{9}\right)\, dx = - \frac{\int x^{3}\, dx}{9}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4}}{36}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 e x^{3}}{2}\, dx = \frac{5 e \int x^{3}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 e x^{4}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x^{3} e^{2}\, dx = 4 e^{2} \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{4} e^{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{5 e x^{2}}{6}\right)\, dx = - \frac{5 e \int x^{2}\, dx}{6}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 e x^{3}}{18}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{19 x^{2}}{36}\, dx = \frac{19 \int x^{2}\, dx}{36}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{19 x^{3}}{108}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 x^{2} e^{2}\, dx = 5 e^{2} \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{3} e^{2}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2 x}{3}\right)\, dx = - \frac{2 \int x\, dx}{3}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e x}{3}\, dx = \frac{e \int x\, dx}{3}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e x^{2}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x e^{2}\, dx = 2 e^{2} \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} e^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(- e\right)\, dx = - e x$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int e^{2}\, dx = x e^{2}$

      El resultado es: $- \frac{e x^{5}}{15} + \frac{x^{5}}{720} + \frac{4 x^{5} e^{2}}{5} - \frac{x^{4}}{36} + \frac{5 e x^{4}}{8} + x^{4} e^{2} - \frac{5 e x^{3}}{18} + \frac{19 x^{3}}{108} + \frac{5 x^{3} e^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3} + \frac{e x^{2}}{6} + x^{2} e^{2} - e x + \frac{x}{4} + x e^{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(x^{4} \left(- 144 e + 3 + 1728 e^{2}\right) + x^{3} \left(-60 + 1350 e + 2160 e^{2}\right) + x^{2} \left(- 600 e + 380 + 3600 e^{2}\right) + 360 x \left(-2 + e + 6 e^{2}\right) - 2160 e + 540 + 2160 e^{2}\right)}{2160}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(x^{4} \left(- 144 e + 3 + 1728 e^{2}\right) + x^{3} \left(-60 + 1350 e + 2160 e^{2}\right) + x^{2} \left(- 600 e + 380 + 3600 e^{2}\right) + 360 x \left(-2 + e + 6 e^{2}\right) - 2160 e + 540 + 2160 e^{2}\right)}{2160}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(x^{4} \left(- 144 e + 3 + 1728 e^{2}\right) + x^{3} \left(-60 + 1350 e + 2160 e^{2}\right) + x^{2} \left(- 600 e + 380 + 3600 e^{2}\right) + 360 x \left(-2 + e + 6 e^{2}\right) - 2160 e + 540 + 2160 e^{2}\right)}{2160}+ \mathrm{constant}$