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Integral de Ctg^3(3x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1             
  /             
 |              
 |     3        
 |  cot (3*x) dx
 |              
/               
0               
01cot3(3x)dx\int\limits_{0}^{1} \cot^{3}{\left(3 x \right)}\, dx
Integral(cot(3*x)^3, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cot3(3x)=(csc2(3x)1)cot(3x)\cot^{3}{\left(3 x \right)} = \left(\csc^{2}{\left(3 x \right)} - 1\right) \cot{\left(3 x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=csc2(3x)u = \csc^{2}{\left(3 x \right)}.

      Luego que du=6cot(3x)csc2(3x)dxdu = - 6 \cot{\left(3 x \right)} \csc^{2}{\left(3 x \right)} dx y ponemos du6- \frac{du}{6}:

      (u16u)du\int \left(- \frac{u - 1}{6 u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        u1udu=u1udu6\int \frac{u - 1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{u - 1}{u}\, du}{6}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u1u=11u\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            1du=u\int 1\, du = u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (1u)du=1udu\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log(u)- \log{\left(u \right)}

          El resultado es: ulog(u)u - \log{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: u6+log(u)6- \frac{u}{6} + \frac{\log{\left(u \right)}}{6}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log(csc2(3x))6csc2(3x)6\frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(3 x \right)} \right)}}{6} - \frac{\csc^{2}{\left(3 x \right)}}{6}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (csc2(3x)1)cot(3x)=cot(3x)csc2(3x)cot(3x)\left(\csc^{2}{\left(3 x \right)} - 1\right) \cot{\left(3 x \right)} = \cot{\left(3 x \right)} \csc^{2}{\left(3 x \right)} - \cot{\left(3 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=csc(3x)u = \csc{\left(3 x \right)}.

        Luego que du=3cot(3x)csc(3x)dxdu = - 3 \cot{\left(3 x \right)} \csc{\left(3 x \right)} dx y ponemos du3- \frac{du}{3}:

        (u3)du\int \left(- \frac{u}{3}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          udu=udu3\int u\, du = - \frac{\int u\, du}{3}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: u26- \frac{u^{2}}{6}

        Si ahora sustituir uu más en:

        csc2(3x)6- \frac{\csc^{2}{\left(3 x \right)}}{6}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (cot(3x))dx=cot(3x)dx\int \left(- \cot{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - \int \cot{\left(3 x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cot(3x)=cos(3x)sin(3x)\cot{\left(3 x \right)} = \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}

        2. que u=sin(3x)u = \sin{\left(3 x \right)}.

          Luego que du=3cos(3x)dxdu = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          13udu\int \frac{1}{3 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            1udu=1udu3\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log(u)3\frac{\log{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(sin(3x))3\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: log(sin(3x))3- \frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{3}

      El resultado es: log(sin(3x))3csc2(3x)6- \frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{3} - \frac{\csc^{2}{\left(3 x \right)}}{6}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (csc2(3x)1)cot(3x)=cot(3x)csc2(3x)cot(3x)\left(\csc^{2}{\left(3 x \right)} - 1\right) \cot{\left(3 x \right)} = \cot{\left(3 x \right)} \csc^{2}{\left(3 x \right)} - \cot{\left(3 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=csc(3x)u = \csc{\left(3 x \right)}.

        Luego que du=3cot(3x)csc(3x)dxdu = - 3 \cot{\left(3 x \right)} \csc{\left(3 x \right)} dx y ponemos du3- \frac{du}{3}:

        (u3)du\int \left(- \frac{u}{3}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          udu=udu3\int u\, du = - \frac{\int u\, du}{3}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: u26- \frac{u^{2}}{6}

        Si ahora sustituir uu más en:

        csc2(3x)6- \frac{\csc^{2}{\left(3 x \right)}}{6}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (cot(3x))dx=cot(3x)dx\int \left(- \cot{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - \int \cot{\left(3 x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cot(3x)=cos(3x)sin(3x)\cot{\left(3 x \right)} = \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}

        2. que u=sin(3x)u = \sin{\left(3 x \right)}.

          Luego que du=3cos(3x)dxdu = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

          13udu\int \frac{1}{3 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            1udu=1udu3\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log(u)3\frac{\log{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(sin(3x))3\frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: log(sin(3x))3- \frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{3}

      El resultado es: log(sin(3x))3csc2(3x)6- \frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{3} - \frac{\csc^{2}{\left(3 x \right)}}{6}

  3. Añadimos la constante de integración:

    log(csc2(3x))6csc2(3x)6+constant\frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(3 x \right)} \right)}}{6} - \frac{\csc^{2}{\left(3 x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

log(csc2(3x))6csc2(3x)6+constant\frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(3 x \right)} \right)}}{6} - \frac{\csc^{2}{\left(3 x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                             
 |                       2           /   2     \
 |    3               csc (3*x)   log\csc (3*x)/
 | cot (3*x) dx = C - --------- + --------------
 |                        6             6       
/                                               
cot3(3x)dx=C+log(csc2(3x))6csc2(3x)6\int \cot^{3}{\left(3 x \right)}\, dx = C + \frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(3 x \right)} \right)}}{6} - \frac{\csc^{2}{\left(3 x \right)}}{6}
Respuesta [src]
oo
\infty
=
=
oo
\infty
oo
Respuesta numérica [src]
3.39024088112404e+36
3.39024088112404e+36

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.