Integral de (-cos4x*sin4x)/4 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\sin{\left(4 x \right)} \left(- \cos{\left(4 x \right)}\right)}{4}\, dx = \frac{\int \left(- \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx}{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \cos{\left(4 x \right)}$.

            Luego que $du = - 4 \sin{\left(4 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

            $\int \left(- \frac{u}{4}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \frac{\int u\, du}{4}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{8}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8}$

         Método #2

         1. que $u = 4 x$.

            Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

               1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u\, du = - \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8}$

         Método #3

         1. que $u = \sin{\left(4 x \right)}$.

            Luego que $du = 4 \cos{\left(4 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{u}{4}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = \frac{\int u\, du}{4}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{8}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}{8}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{32}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{32}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{32}+ \mathrm{constant}$