Sr Examen

Integral de sin3xcos4x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                     
  /                     
 |                      
 |  sin(3*x)*cos(4*x) dx
 |                      
/                       
0                       
01sin(3x)cos(4x)dx\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}\, dx
Integral(sin(3*x)*cos(4*x), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin(3x)cos(4x)=32sin3(x)cos4(x)+32sin3(x)cos2(x)4sin3(x)+24sin(x)cos4(x)24sin(x)cos2(x)+3sin(x)\sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(4 x \right)} = - 32 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + 32 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - 4 \sin^{3}{\left(x \right)} + 24 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 24 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      (32sin3(x)cos4(x))dx=32sin3(x)cos4(x)dx\int \left(- 32 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 32 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin3(x)cos4(x)=(1cos2(x))sin(x)cos4(x)\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          (u6u4)du\int \left(u^{6} - u^{4}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              u6du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              (u4)du=u4du\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              Por lo tanto, el resultado es: u55- \frac{u^{5}}{5}

            El resultado es: u77u55\frac{u^{7}}{7} - \frac{u^{5}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          cos7(x)7cos5(x)5\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1cos2(x))sin(x)cos4(x)=sin(x)cos6(x)+sin(x)cos4(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (sin(x)cos6(x))dx=sin(x)cos6(x)dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

              (u6)du\int \left(- u^{6}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                u6du=u6du\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                  u6du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

                Por lo tanto, el resultado es: u77- \frac{u^{7}}{7}

              Si ahora sustituir uu más en:

              cos7(x)7- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}

            Por lo tanto, el resultado es: cos7(x)7\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}

          1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

            (u4)du\int \left(- u^{4}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              u4du=u4du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              Por lo tanto, el resultado es: u55- \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            cos5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

          El resultado es: cos7(x)7cos5(x)5\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

        Método #3

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1cos2(x))sin(x)cos4(x)=sin(x)cos6(x)+sin(x)cos4(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (sin(x)cos6(x))dx=sin(x)cos6(x)dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

              (u6)du\int \left(- u^{6}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                u6du=u6du\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                  u6du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

                Por lo tanto, el resultado es: u77- \frac{u^{7}}{7}

              Si ahora sustituir uu más en:

              cos7(x)7- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}

            Por lo tanto, el resultado es: cos7(x)7\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}

          1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

            (u4)du\int \left(- u^{4}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              u4du=u4du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              Por lo tanto, el resultado es: u55- \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            cos5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

          El resultado es: cos7(x)7cos5(x)5\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: 32cos7(x)7+32cos5(x)5- \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{32 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      32sin3(x)cos2(x)dx=32sin3(x)cos2(x)dx\int 32 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 32 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin3(x)cos2(x)=(1cos2(x))sin(x)cos2(x)\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

      2. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        (u4u2)du\int \left(u^{4} - u^{2}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (u2)du=u2du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: u33- \frac{u^{3}}{3}

          El resultado es: u55u33\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        cos5(x)5cos3(x)3\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: 32cos5(x)532cos3(x)3\frac{32 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{32 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      (4sin3(x))dx=4sin3(x)dx\int \left(- 4 \sin^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin3(x)=(1cos2(x))sin(x)\sin^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}

      2. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        (u21)du\int \left(u^{2} - 1\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            (1)du=u\int \left(-1\right)\, du = - u

          El resultado es: u33u\frac{u^{3}}{3} - u

        Si ahora sustituir uu más en:

        cos3(x)3cos(x)\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 4cos3(x)3+4cos(x)- \frac{4 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + 4 \cos{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      24sin(x)cos4(x)dx=24sin(x)cos4(x)dx\int 24 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 24 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

        (u4)du\int \left(- u^{4}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          u4du=u4du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: u55- \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        cos5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: 24cos5(x)5- \frac{24 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      (24sin(x)cos2(x))dx=24sin(x)cos2(x)dx\int \left(- 24 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 24 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

        (u2)du\int \left(- u^{2}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          u2du=u2du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: u33- \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        cos3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: 8cos3(x)8 \cos^{3}{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      3sin(x)dx=3sin(x)dx\int 3 \sin{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        sin(x)dx=cos(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 3cos(x)- 3 \cos{\left(x \right)}

    El resultado es: 32cos7(x)7+8cos5(x)4cos3(x)+cos(x)- \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + 8 \cos^{5}{\left(x \right)} - 4 \cos^{3}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    32cos7(x)7+8cos5(x)4cos3(x)+cos(x)+constant- \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + 8 \cos^{5}{\left(x \right)} - 4 \cos^{3}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

32cos7(x)7+8cos5(x)4cos3(x)+cos(x)+constant- \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + 8 \cos^{5}{\left(x \right)} - 4 \cos^{3}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                         7            
 |                                 3           5      32*cos (x)         
 | sin(3*x)*cos(4*x) dx = C - 4*cos (x) + 8*cos (x) - ---------- + cos(x)
 |                                                        7              
/                                                                        
sin(3x)cos(4x)dx=C32cos7(x)7+8cos5(x)4cos3(x)+cos(x)\int \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}\, dx = C - \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + 8 \cos^{5}{\left(x \right)} - 4 \cos^{3}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-1
Respuesta [src]
  3   3*cos(3)*cos(4)   4*sin(3)*sin(4)
- - + --------------- + ---------------
  7          7                 7       
37+4sin(3)sin(4)7+3cos(3)cos(4)7- \frac{3}{7} + \frac{4 \sin{\left(3 \right)} \sin{\left(4 \right)}}{7} + \frac{3 \cos{\left(3 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{7}
=
=
  3   3*cos(3)*cos(4)   4*sin(3)*sin(4)
- - + --------------- + ---------------
  7          7                 7       
37+4sin(3)sin(4)7+3cos(3)cos(4)7- \frac{3}{7} + \frac{4 \sin{\left(3 \right)} \sin{\left(4 \right)}}{7} + \frac{3 \cos{\left(3 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{7}
-3/7 + 3*cos(3)*cos(4)/7 + 4*sin(3)*sin(4)/7
Respuesta numérica [src]
-0.21227043666188
-0.21227043666188

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.