Sr Examen

Otras calculadoras

Resolución de integrales/ (x+1)/ (3x+1)/ (x+1)/(3x+1)^1/3

Integral de (x+1)/(3x+1)^1/3 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 7/3              
  /               
 |                
 |     x + 1      
 |  ----------- dx
 |  3 _________   
 |  \/ 3*x + 1    
 |                
/                 
0
∫073x+13x+13 dx\int\limits_{0}^{\frac{7}{3}} \frac{x + 1}{\sqrt[3]{3 x + 1}}\, dx 
Integral((x + 1)/(3*x + 1)^(1/3), (x, 0, 7/3))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=3x+13u = \sqrt[3]{3 x + 1}.

      Luego que du=dx(3x+1)23du = \frac{dx}{\left(3 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}} y ponemos dudu:

      ∫(u(u33−13)+u) du\int \left(u \left(\frac{u^{3}}{3} - \frac{1}{3}\right) + u\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u(u33−13)=u43−u3u \left(\frac{u^{3}}{3} - \frac{1}{3}\right) = \frac{u^{4}}{3} - \frac{u}{3}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u43 du=∫u4 du3\int \frac{u^{4}}{3}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{3}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Por lo tanto, el resultado es: u515\frac{u^{5}}{15}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−u3) du=−∫u du3\int \left(- \frac{u}{3}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{3}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u26- \frac{u^{2}}{6}

          El resultado es: u515−u26\frac{u^{5}}{15} - \frac{u^{2}}{6}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

        El resultado es: u515+u23\frac{u^{5}}{15} + \frac{u^{2}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      (3x+1)5315+(3x+1)233\frac{\left(3 x + 1\right)^{\frac{5}{3}}}{15} + \frac{\left(3 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{3}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x+13x+13=x3x+13+13x+13\frac{x + 1}{\sqrt[3]{3 x + 1}} = \frac{x}{\sqrt[3]{3 x + 1}} + \frac{1}{\sqrt[3]{3 x + 1}}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=13x+13u = \frac{1}{\sqrt[3]{3 x + 1}}.

        Luego que du=−dx(3x+1)43du = - \frac{dx}{\left(3 x + 1\right)^{\frac{4}{3}}} y ponemos dudu:

        ∫(−3(−13+13u3)2+13−13u3) du\int \left(- 3 \left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 u^{3}}\right)^{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 u^{3}}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−3(−13+13u3)2) du=−3∫(−13+13u3)2 du\int \left(- 3 \left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 u^{3}}\right)^{2}\right)\, du = - 3 \int \left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 u^{3}}\right)^{2}\, du

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

              Método #1

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                (−13+13u3)2=19−29u3+19u6\left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 u^{3}}\right)^{2} = \frac{1}{9} - \frac{2}{9 u^{3}} + \frac{1}{9 u^{6}}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫19 du=u9\int \frac{1}{9}\, du = \frac{u}{9}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫(−29u3) du=−2∫1u3 du9\int \left(- \frac{2}{9 u^{3}}\right)\, du = - \frac{2 \int \frac{1}{u^{3}}\, du}{9}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

                  Por lo tanto, el resultado es: 19u2\frac{1}{9 u^{2}}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫19u6 du=∫1u6 du9\int \frac{1}{9 u^{6}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{6}}\, du}{9}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u6 du=−15u5\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}

                  Por lo tanto, el resultado es: −145u5- \frac{1}{45 u^{5}}

                El resultado es: u9+19u2−145u5\frac{u}{9} + \frac{1}{9 u^{2}} - \frac{1}{45 u^{5}}

              Método #2

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                (−13+13u3)2=u6−2u3+19u6\left(- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 u^{3}}\right)^{2} = \frac{u^{6} - 2 u^{3} + 1}{9 u^{6}}

              2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u6−2u3+19u6 du=∫u6−2u3+1u6 du9\int \frac{u^{6} - 2 u^{3} + 1}{9 u^{6}}\, du = \frac{\int \frac{u^{6} - 2 u^{3} + 1}{u^{6}}\, du}{9}

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  u6−2u3+1u6=1−2u3+1u6\frac{u^{6} - 2 u^{3} + 1}{u^{6}} = 1 - \frac{2}{u^{3}} + \frac{1}{u^{6}}

                2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫1 du=u\int 1\, du = u

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫(−2u3) du=−2∫1u3 du\int \left(- \frac{2}{u^{3}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{3}}\, du

                    1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                      ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

                    Por lo tanto, el resultado es: 1u2\frac{1}{u^{2}}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u6 du=−15u5\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}

                  El resultado es: u+1u2−15u5u + \frac{1}{u^{2}} - \frac{1}{5 u^{5}}

                Por lo tanto, el resultado es: u9+19u2−145u5\frac{u}{9} + \frac{1}{9 u^{2}} - \frac{1}{45 u^{5}}

            Por lo tanto, el resultado es: −u3−13u2+115u5- \frac{u}{3} - \frac{1}{3 u^{2}} + \frac{1}{15 u^{5}}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫13 du=u3\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−13u3) du=−∫1u3 du3\int \left(- \frac{1}{3 u^{3}}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u^{3}}\, du}{3}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

            Por lo tanto, el resultado es: 16u2\frac{1}{6 u^{2}}

          El resultado es: −16u2+115u5- \frac{1}{6 u^{2}} + \frac{1}{15 u^{5}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        (3x+1)5315−(3x+1)236\frac{\left(3 x + 1\right)^{\frac{5}{3}}}{15} - \frac{\left(3 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{6}

      1. que u=3x+1u = 3 x + 1.

        Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫13u3 du\int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u3 du=∫1u3 du3\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du}{3}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u3 du=3u232\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = \frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: u232\frac{u^{\frac{2}{3}}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        (3x+1)232\frac{\left(3 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{2}

      El resultado es: (3x+1)5315+(3x+1)233\frac{\left(3 x + 1\right)^{\frac{5}{3}}}{15} + \frac{\left(3 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{3}

  2. Ahora simplificar:

    (x+2)(3x+1)235\frac{\left(x + 2\right) \left(3 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{5}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (x+2)(3x+1)235+constant\frac{\left(x + 2\right) \left(3 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(x+2)(3x+1)235+constant\frac{\left(x + 2\right) \left(3 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                
 |                               2/3            5/3
 |    x + 1             (3*x + 1)      (3*x + 1)   
 | ----------- dx = C + ------------ + ------------
 | 3 _________               3              15     
 | \/ 3*x + 1                                      
 |                                                 
/
∫x+13x+13 dx=C+(3x+1)5315+(3x+1)233\int \frac{x + 1}{\sqrt[3]{3 x + 1}}\, dx = C + \frac{\left(3 x + 1\right)^{\frac{5}{3}}}{15} + \frac{\left(3 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.02.205
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
46
--
15
4615\frac{46}{15} 
=
= 
46
--
15
4615\frac{46}{15} 
46/15
Respuesta numérica [src] 
3.06666666666667
3.06666666666667

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

    © Sr Examen – Калькулятор